MATLAB - 积分

积分处理两种本质上不同的问题。

第一种类型，给出函数的导数，我们需要找到该函数。因此，我们基本上反转了微分的过程。这个反向过程被称为反微分，或求原函数，或求**不定积分**。
第二种问题涉及到将非常大量的非常小的量相加，然后取这些量的大小接近于零时的极限，而项数趋于无穷大。这个过程导致了**定积分**的定义。

定积分用于求面积、体积、重心、惯性矩、力做的功，以及许多其他应用。

使用 MATLAB 求不定积分

根据定义，如果函数 f(x) 的导数是 f'(x)，那么我们说 f'(x) 关于 x 的不定积分是 f(x)。例如，由于 x² 关于 x 的导数是 2x，我们可以说 2x 的不定积分是 x²。

用符号表示为：

f'(x²) = 2x，因此，

∫ 2xdx = x²。

不定积分不是唯一的，因为对于任意常数 c 的值，x² + c 的导数也将是 2x。

这用符号表示为：

∫ 2xdx = x² + c.

其中，c 称为“任意常数”。

MATLAB 提供了一个**int**命令来计算表达式的积分。为了推导出函数不定积分的表达式，我们写：

int(f);

例如，从我们之前的例子：

syms x 
int(2*x)

MATLAB 执行上述语句并返回以下结果：

ans =
   x^2

示例 1

在这个例子中，让我们找到一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件，并在其中输入以下代码：

syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

运行文件后，它将显示以下结果：

ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)

示例 2

创建一个脚本文件，并在其中输入以下代码：

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

请注意，**pretty**函数以更易读的格式返回表达式。

运行文件后，它将显示以下结果：

ans =
   sin(x)
 
ans =
   exp(x)
 
ans =
   x*(log(x) - 1)
 
ans =
   log(x)
 
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 
   
        3             5 
 
   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5
 
ans =
-1/(4*x^4)
 
ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)
 
ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
 
      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

使用 MATLAB 求定积分

根据定义，定积分基本上是和的极限。我们使用定积分来求面积，例如曲线和 x 轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。定积分也可以用于其他情况，其中所需的数量可以表示为和的极限。

**int**函数可以通过传递要计算积分的极限来用于定积分。

计算

我们写：

int(x, a, b)

例如，要计算 Example 的值，我们写：

int(x, 4, 9)

MATLAB 执行上述语句并返回以下结果：

ans =
   65/2

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave 执行代码并返回以下结果：

Area: 

   32.500

可以使用 Octave 提供的 quad() 函数给出另一种解决方案，如下所示：

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

Octave 执行代码并返回以下结果：

Area: 
   32.500

示例 1

让我们计算 x 轴、曲线 y = x³−2x+5 和坐标 x = 1 和 x = 2 之间包围的面积。

所需面积由下式给出：

创建一个脚本文件，并输入以下代码：

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

运行文件后，它将显示以下结果：

a =
23/4
Area: 
   5.7500

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave 执行代码并返回以下结果：

Area: 

   5.7500

可以使用 Octave 提供的 quad() 函数给出另一种解决方案，如下所示：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave 执行代码并返回以下结果：

Area: 
   5.7500

示例 2

求曲线 f(x) = x² cos(x) 在 −4 ≤ x ≤ 9 范围内的面积。

创建一个脚本文件，并编写以下代码：

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

运行文件后，MATLAB 将绘制图形：

输出如下：

a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
 
Area: 
   0.3326

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));

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