MATLAB - 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种强大的数学技术，用于求解微分方程和分析工程、物理学和其他领域的系统。它以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的名字命名。

简单来说，拉普拉斯变换将时间函数转换为复变量函数，通常用 s 表示。这种变换将微分方程转换为代数方程，使它们更容易求解。

拉普拉斯变换的一个主要优点是它能够处理具有不连续性或复杂行为的信号和系统。它广泛应用于控制理论、信号处理、通信系统以及科学和工程的许多其他领域。

在 MATLAB 中，拉普拉斯变换通常用于分析和求解微分方程，尤其是在控制系统和信号处理领域。

MATLAB 提供了 laplace 函数，可用于计算给定函数的拉普拉斯变换。

语法

F = laplace(f)
F = laplace(f,transVar)
F = laplace(f,var,transVar)

语法解释

F = laplace(f) − 计算函数 f 的拉普拉斯变换。默认情况下，该函数被假定为时间 (t) 的函数，拉普拉斯变换是复变量 (s) 的函数。

F = laplace(f,transVar) − 使用不同的变量 transVar（而不是默认变量 s）计算函数 f 的拉普拉斯变换。

F = laplace(f,var,transVar) − 计算函数 f 的拉普拉斯变换，其中函数依赖于变量 var，拉普拉斯变换相对于变量 transVar，而不是默认变量 t 和 s。

使用 laplace() 函数的拉普拉斯工作示例

让我们看几个例子，说明如何在 MATLAB 中使用 laplace 函数计算拉普拉斯变换。

示例 1：计算函数 f(t) = e-at 的拉普拉斯变换

假设我们有一个简单的函数 f(t) = e-at，其中 a 是一个常数。我们希望使用 MATLAB 中的 laplace 函数计算其拉普拉斯变换。

syms t s a
f = exp(-a*t);
F = laplace(f);
disp(F);

在上面的示例中，我们有 −

我们首先使用 syms 定义符号变量 t、s 和 a。
然后，我们将函数 f(t) 定义为 exp(-a*t)，它表示 e-at
接下来，我们仅使用函数 f 作为参数使用 laplace 函数。由于我们没有指定自变量或变换变量，因此 MATLAB 假定自变量的默认值为 t，变换变量的默认值为 s。
最后，我们使用 disp 显示函数 f 的拉普拉斯变换。

执行代码后，我们得到如下所示的输出 −

>> syms t s a
f = exp(-a*t);
F = laplace(f);
disp(F); 

1/(a + s)
 
>>

示例 2：计算 1/sqrt(x) 的拉普拉斯变换

我们的代码是 −

syms x
f = 1/sqrt(x);
F = laplace(f);
disp(F);

在示例中，我们有 −

syms x 将变量 x 声明为符号变量，表示 x 可以表示任何数学表达式。
f = 1/sqrt(x); 使用符号变量 x 定义函数 f(x) = 1/sqrt(x)。
F = laplace(f); 计算 f 相对于默认变量 t 的拉普拉斯变换，并将结果赋值给 F。
disp(F); 将 f(x) 的拉普拉斯变换显示为拉普拉斯变量 s 的函数。

执行代码后，我们得到的输出如下 −

>> syms x
f = 1/sqrt(x);
F = laplace(f);
disp(F);

pi^(1/2)/s^(1/2)
 
>>

示例 3：计算具有参数的正弦函数的拉普拉斯变换

我们的代码如下 −

syms t s
syms omega real
f = sin(omega*t);
f_subs = subs(f, t, s/omega); % Substitute t with s/omega
F = laplace(f_subs, s);
disp(F);

在示例中，

syms t s − 这行代码将变量 t 和 s 声明为符号，这意味着它们可以表示数学表达式。syms omega real: 这行代码将变量 omega 声明为符号实常数。这样做是为了确保在执行计算时将 omega 视为实数。
f = sin(omega*t) − 这行代码定义函数 f(t) = sin(omega*t)。这里，omega 是一个控制正弦波频率的参数。
f_subs = subs(f, t, s/omega) − 这行代码对函数 f 执行替换。它用 s/omega 替换变量 t 的每次出现，有效地将函数转换为 f(s/omega)。
F = laplace(f_subs, s) − 这行代码计算替换后的函数 f_subs 相对于变量 s 的拉普拉斯变换。由于 s 是 MATLAB 中拉普拉斯变换的默认变量，因此我们只需要将 s 指定为 laplace 函数的第二个参数。
disp(F) − 这行代码显示拉普拉斯变换的结果，它是 s 的函数。结果将以 omega 表示，反映原始函数中的频率参数。

执行后，输出为 −

>> syms t s
syms omega real
f = sin(omega*t);
f_subs = subs(f, t, s/omega); % Substitute t with s/omega
F = laplace(f_subs, s);
disp(F);
1/(s^2 + 1)
 
>>

示例 4：计算指数-余弦函数的拉普拉斯变换

我们的代码如下 −

syms t s
f = exp(-2*t)*cos(3*t);
F = laplace(f, t, s/2);
disp(F);

使用的函数为 f(t) = e-2t cos(3t)。我们计算其相对于 t 的拉普拉斯变换，并使用 s/2 作为拉普拉斯变量。

在示例中，我们有 −

syms t s − 这行代码将变量 t 和 s 声明为符号，表示它们可以表示数学表达式。
f = exp(-2*t)*cos(3*t) − 这行代码定义函数 f(t) = e^{-2t} \cos(3t)。
F = laplace(f, t, s/2) − 这行代码计算函数 f 相对于变量 t 的拉普拉斯变换，并使用拉普拉斯变量 s/2 而不是默认变量 s。
disp(F) − 这行代码显示拉普拉斯变换的结果，它是 s/2 的函数。结果将以 s 表示，反映拉普拉斯变换中使用的变换变量。

在 matlab 命令窗口中执行后，我们得到的输出为 −

>> syms t s
f = exp(-2*t)*cos(3*t);
F = laplace(f, t, s/2);
disp(F);

(s/2 + 2)/((s/2 + 2)^2 + 9)
 
>>

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