MATLAB - 多项式的导数

在数学中，导数表示函数相对于变量的变化率。简单来说，它告诉我们函数在任何给定点的变化情况。导数是微积分的基础，广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，用于模拟变化和运动。

例如，如果你有一个函数描述了汽车随时间变化的位置，那么该函数的导数将给出汽车的速度（位置的变化率）。

多项式的导数

多项式是由变量的不同幂与系数组合而成的数学表达式。例如，多项式 P(x) = 3x2 + 2x + 5 是一个二次多项式。

多项式函数的导数是通过应用一个简单的规则找到的：对于每一项，将系数乘以指数，然后将指数减 1。这个过程对多项式中的每一项重复。

例如，考虑多项式

P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1

导数，P′(x)，计算如下：

对于项 3x3：将 3 乘以 3（指数），得到 9x2。
对于项 4x2：将 4 乘以 2，得到 8x。
对于项 2x：将 2 乘以 1，得到 2。
常数项 (1) 的导数为 0。

因此，导数为：

P′(x) = 9x2 + 8x + 2

MATLAB 中的导数

MATLAB 使用内置函数可以轻松计算多项式的导数。MATLAB 中的多项式由一个向量表示，该向量包含其系数，并按变量的降幂排序。

为了找到多项式的导数，MATLAB 提供了 polyder 函数。

语法

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(a,b)

语法解释

k = polyder(p) 计算由 p 中的系数给出的多项式的导数，得到一个新的多项式 k(x)，它表示导数 d/dx p(x)。

k = polyder(a,b) 计算两个多项式 a 和 b 的乘积的导数，得到一个新的多项式 k(x)，它表示。

$$\mathrm{\frac{d}{dx}[a(x) \: \cdot \: b(x)]}$$

[q, d] = polyder(a, b) 计算两个多项式 a 和 b 的商的导数，返回两个多项式：q(x)（分子）和 d(x)（分母），表示 a(x)/b(x) 的导数。

示例 1：使用 polyder(p) 计算导数

假设我们有一个多项式

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

这个多项式可以用 MATLAB 中的系数向量表示：

p = [4 3 2 1];

为了计算这个多项式的导数，我们在 MATLAB 中使用 polyder 函数：

k = polyder(p);

在 matlab 命令窗口中执行代码后，输出结果为。

>> p = [4 3 2 1];
k = polyder(p)

k =

    12     6     2

>>

对于项 4x3，导数为 12x2（将系数 4 乘以指数 3，并将指数减 1）。

对于项 3x2，导数为 6x。

对于项 2x，导数为 2。

对于常数项 1 的导数为 0。

因此，导数多项式为

k(x) = 12x2 + 6x + 2

在 Matlab 中，k 的结果将是：[12 6 2]

示例 2：另一个查找多项式导数的示例

考虑以下多项式

p(x) = 5x4 + 2x3 + 7x2 - 3x + 8

这个多项式可以用 MATLAB 中的系数向量表示：

p = [5 -2 7 -3 8]

为了找到这个多项式的导数，我们将使用 matlab 中的 polyder 函数。

k = polyder(p)

此命令将返回多项式 p 的导数的系数。

当您在 matlab 命令窗口中执行代码时，输出结果为

>> p = [5 -2 7 -3 8];
k = polyder(p)

k =

    20    -6    14    -3

>>

向量 k = [20 -6 14 -3] 表示多项式

k(x) = 20x3 - 6x2 + 14x - 3

示例 3：使用 polyder(a, b) 计算两个多项式乘积的导数

让我们考虑两个多项式

a(x) = 2x2 + 3x  + 1
b(x) = 4x + 5

这些多项式可以用 MATLAB 中的系数向量表示

a = [2 3 1]
b = [4 5]

为了计算这两个多项式乘积的导数，我们使用带两个输入参数的 polyder 函数。

k = polyder(a, b);

这将返回 a(x) 和 b(x) 的乘积的导数的系数。

当您在 matlab 命令窗口中执行代码时，得到的输出结果为

>> a = [2 3 1];
b = [4 5];  
k = polyder(a, b)

k =

    24    44    19

>>

因此，导数多项式为：k(x) = 24x2 + 44x + 19

示例 4：两个给定多项式的导数

考虑两个不同的多项式。

a(x) = 3x3 + 2x2 + x + 4
b(x) = x2 - 5x + 6

这些多项式可以用 MATLAB 中的以下系数向量表示。

a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];

为了计算这两个多项式乘积的导数，我们使用以向量 a 和 b 作为输入的 polyder 函数

k = polyder(a, b);

此命令将返回 a(x) 和 b(x) 的乘积的导数的系数。

当代码在 matlab 命令窗口中执行时，输出结果为

>> a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];
k = polyder(a, b)

k =

    15   -52    27    22   -14

>>

因此，导数多项式为：

k(x) = 15x4 - 52x3 + 27x2 + 22x - 14

示例 5：使用 [q, d] = polyder(a, b) 计算两个多项式商的导数

让我们考虑两个多项式：

a(x) = 4x2 + 3x + 2
b(x) = x2 - 2x + 1

这些多项式可以用 Matlab 中的系数向量表示。

a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];

为了计算 a(x) / b(x) 的导数，我们使用带两个输出参数 q 和 d 的 polyder 函数。

[q,d] = polyder(a,b)

这将返回两个多项式：q(x)（分子）和 d(x)（分母），表示 a(x) / b(x) 的导数。

当代码在 matlab 命令窗口中执行时，输出结果为

>> a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];
[q,d] = polyder(a,b)

q =

   -11     4     7


d =

     1    -4     6    -4     1

>>

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