网络理论 - 德尔塔-星形转换

在上一章中，我们讨论了一个与等效电阻相关的例题。在那里，我们很容易计算出给定电网络的端点 A 和 B 之间的等效电阻。因为，在每一步中，我们都得到了串联或并联连接的电阻组合。

但是，在某些情况下，很难通过遵循先前的方法来简化网络。例如，以德尔塔 (δ) 形或星形连接的电阻。在这种情况下，我们必须转换网络的一种形式到另一种形式，以便通过使用串联组合或并联组合来进一步简化它。在本章中，让我们讨论一下德尔塔-星形转换。

德尔塔网络

考虑下图所示的德尔塔网络。

以下等式表示当第三个端点保持断开时，德尔塔网络两个端点之间的等效电阻。

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

下图显示了与上述德尔塔网络对应的等效星形网络。

以下等式表示当第三个端点保持断开时，星形网络两个端点之间的等效电阻。

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

我们将通过将上述等式的右边项（其左边项相同）相等得到以下等式。

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 3

通过将上述三个等式相加，我们将得到

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 4

从等式 4 中减去等式 2。

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

通过从等式 4 中减去等式 3，我们将得到

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

通过从等式 4 中减去等式 1，我们将得到

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

通过使用上述关系，我们可以从德尔塔网络的电阻中找到星形网络的电阻。这样，我们可以将德尔塔网络转换为星形网络。

让我们计算星形网络的电阻，它们等效于下图所示的德尔塔网络。

给定德尔塔网络的电阻为R₁ = 10 Ω，R₂ = 60 Ω 和R₃ = 30 Ω。

我们知道星形网络的电阻用德尔塔网络的电阻表示的以下关系。

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

将R₁、R₂和R₃的值代入上述等式。

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

因此，我们得到了星形网络的电阻为R_A = 6 Ω，R_B = 18 Ω和R_C = 3 Ω，它们等效于给定德尔塔网络的电阻。

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