网络理论 -叠加定理

叠加定理基于电气电路响应与激励之间线性关系的概念。它指出，当多个独立电源同时作用时，线性电路中特定支路的响应等于每个独立电源单独作用时产生的响应之和。

在这种方法中，我们将一次只考虑一个独立电源。因此，我们必须从电路中消除其余的独立电源。我们可以通过短接电压源的两端来消除电压源，类似地，通过断开电流源的两端来消除电流源。

因此，如果存在“n”个独立电源，我们需要找到特定支路的响应“n”次。特定支路的响应可以是流过该支路的电流或该支路上的电压。

叠加定理的步骤

按照以下步骤，使用叠加定理找到特定支路的响应。

步骤 1 - 通过考虑一个独立电源并消除网络中存在的其余独立电源，找到特定支路的响应。

步骤 2 - 对网络中存在的每个独立电源重复步骤 1。

步骤 3 - 将所有响应相加，以获得网络中所有独立电源都存在时特定支路的整体响应。

使用叠加定理求解以下电路中 20 Ω 电阻的电流。

步骤 1 - 让我们通过只考虑20 V 电压源来找到流过 20 Ω 电阻的电流。在这种情况下，我们可以通过将其断路来消除 4 A 电流源。修改后的电路图如下所示。

除了地以外，上述电路中只有一个主节点。因此，我们可以使用节点分析法。节点电压 V₁ 在下图中标记。这里，V₁ 是节点 1 相对于地的电压。

节点 1 的节点方程为

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1}{10 + 20} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{6V_1 - 120 + 3V_1 + V_1}{30} = 0$$

$$\Rightarrow 10V_1 = 120$$

$$\Rightarrow V_1 = 12V$$

可以通过以下简化来找到流过 20 Ω 电阻的电流。

$$I_1 = \frac{V_1}{10 + 20}$$

将 V₁ 的值代入上述方程。

$$I_1 = \frac{12}{10 + 20} = \frac{12}{30} = 0.4 A$$

因此，当仅考虑 20 V 电压源时，流过 20 Ω 电阻的电流为0.4 A。

步骤 2 - 让我们通过只考虑4 A 电流源来找到流过 20 Ω 电阻的电流。在这种情况下，我们可以通过将其短路来消除 20 V 电压源。修改后的电路图如下所示。

在上图电路中，A 和 B 端子左侧有三个电阻。我们可以用一个等效电阻替换这些电阻。这里，5 Ω 和 10 Ω 电阻并联连接，整个组合与 10 Ω 电阻串联连接。

A 和 B 端子左侧的等效电阻为

$$R_{AB} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

简化的电路图如下所示。

我们可以使用电流分配原理找到流过 20 Ω 电阻的电流。

$$I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

将 $I_S = 4A,\: R_1 = \frac{40}{3} \Omega$ 和 $R_2 = 20 \Omega$ 代入上述方程。

$$I_2 = 4 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup = 4 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 1.6 A$$

因此，当仅考虑 4 A 电流源时，流过 20 Ω 电阻的电流为1.6 A。

步骤 3 - 通过将我们在步骤 1 和步骤 2 中得到的两个电流相加，我们将得到给定电路中 20 Ω 电阻的电流。在数学上，可以写成

$$I = I_1 + I_2$$

将I₁ 和I₂ 的值代入上述方程。

$$I = 0.4 + 1.6 = 2 A$$

因此，给定电路中 20 Ω 电阻的电流为2 A。

注意 - 我们不能直接应用叠加定理来求解线性电路中任何电阻的功率，只需将由于每个独立电源而传递到该电阻的功率相加。相反，我们可以使用叠加定理计算流过该电阻的总电流或该电阻上的电压，并由此使用 $I^2 R$ 或 $\frac{V^2}{R}$ 计算传递到该电阻的功率。

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