• 在上图中，支路电流 I₁、I₂ 和 I₃**进入**节点 P。因此，对这三个电流考虑负号。

• 在上图中，支路电流 I₄ 和 I₅**离开**节点 P。因此，对这两个电流考虑正号。

节点 P 处的**KCL方程**将为

$$- I_1 - I_2 - I_3 + I_4 + I_5 = 0$$

$$\Rightarrow I_1 + I_2 + I_3 = I_4 + I_5$$

在上式中，左侧表示进入电流的总和，而右侧表示离开电流的总和。

在本教程中，我们将考虑电流离开节点时为正号，进入节点时为负号。同样，您也可以考虑电流离开节点时为负号，进入节点时为正号。在这两种情况下，**结果都相同**。

**注意** - KCL 独立于连接到节点的网络元件的性质。

基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律 (KVL) 指出，环路或网孔周围所有电压的代数和等于零。

**环路**是指在与起点相同的节点处终止的路径。相反，**网孔**是指内部不包含任何其他环路的环路。

数学上，KVL 可以表示为

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^N V_n = 0$$

其中，

• V_n 是环路（网孔）中第 n 个元件的电压。

• N 是环路（网孔）中网络元件的数量。

上述关于基尔霍夫电压定律（KVL）的陈述也可以表述为：“电压源的代数和等于回路中存在的电压降的代数和。”让我们通过以下示例来验证此陈述。

示例

写出以下电路回路的KVL方程。

上述电路图由一个电压源V_S与两个电阻R₁和R₂串联组成。电阻R₁和R₂上的电压降分别为V₁和V₂。

在回路中应用KVL。

$$V_S - V_1 - V_2 = 0$$

$$\Rightarrow V_S = V_1 + V_2$$

在上述方程中，左侧项表示单个电压源VS。而右侧表示电压降之和。在本例中，我们只考虑了一个电压源。因此，左侧只包含一项。如果我们考虑多个电压源，则左侧包含电压源之和。

在本教程中，我们将每个元件电压的符号视为在回路周围移动时遇到的第二个端子的极性。类似地，您可以将每个电压的符号视为在回路周围移动时遇到的第一个端子的极性。在这两种情况下，结果都相同。

注意 - KVL与回路中存在的网络元件的性质无关。

电量分配原理

在本节中，让我们讨论以下两种电量的分配原理。

• 电流分配原理
• 电压分配原理

电流分配原理

当两个或多个无源元件并联连接时，流过每个元件的电流量将从进入节点的电流中进行分配（共享）。

考虑以下电路图。

上述电路图由一个输入电流源I_S与两个电阻R₁和R₂并联组成。每个元件上的电压为V_S。流过电阻R₁和R₂的电流分别为I₁和I₂。

节点P处的KCL方程为

$$I_S = I_1 + I_2$$

• 将$I_1 = \frac{V_S}{R_1}$和$I_2 = \frac{V_S}{R_2}$代入上述方程。

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} = V_S \lgroup \frac {R_2 + R_1 }{R_1 R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S \lgroup \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• 将V_S的值代入$I_1 = \frac{V_S}{R_1}$。

$$I_1 = \frac{I_S}{R_1}\lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_1 = I_S\lgroup \frac{R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• 将V_S的值代入$I_2 = \frac{V_S}{R_2}$。

$$I_2 = \frac{I_S}{R_2} \lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

从I₁和I₂的方程中，我们可以概括地说，流过任何无源元件的电流可以通过以下公式求得。

$$I_N = I_S \lgroup \frac{Z_1\rVert Z_2 \rVert...\rVert Z_{N-1}}{Z_1 + Z_2 + ... + Z_N}\rgroup$$

这被称为电流分配原理，当两个或多个无源元件并联连接且只有一个电流进入节点时适用。

其中，

• I_N是流过第N个支路的无源元件的电流。

• I_S是输入电流，进入节点。

• Z₁, Z₂, …,Z_N分别是第1个支路、第2个支路、…、第N个支路的阻抗。

电压分配原理

当两个或多个无源元件串联连接时，每个元件上的电压量将从整个组合上可用的电压中进行分配（共享）。

考虑以下电路图。

上述电路图由一个电压源V_S与两个电阻R₁和R₂串联组成。流过这些元件的电流为I_S。电阻R₁和R₂上的电压降分别为V₁和V₂。

回路的KVL方程为

$$V_S = V_1 + V_2$$

• 将V₁ = I_S R₁和V₂ = I_S R₂代入上述方程

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 = I_S(R_1 + R_2)$$

$$I_S = \frac{V_S}{R_1 + R_2}$$

• 将I_S的值代入V₁ = I_S R₁。

$$V_1 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_1$$

$$\Rightarrow V_1 = V_S \lgroup \frac {R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• 将I_S的值代入V₂ = I_S R₂。

$$V_2 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_2$$

$$\Rightarrow V_2 = V_S \lgroup \frac {R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

从V₁和V₂的方程中，我们可以概括地说，任何无源元件上的电压可以通过以下公式求得。

$$V_N = V_S \lgroup \frac {Z_N}{Z_1 + Z_2 +....+ Z_N}\rgroup$$

这被称为电压分配原理，当两个或多个无源元件串联连接且只有一个电压可用于整个组合时适用。

其中，

• V_N是第N个无源元件上的电压。

• V_S是输入电压，存在于整个串联无源元件组合上。

• Z₁，Z₂，…，Z₃分别是第1个无源元件、第2个无源元件、…、第N个无源元件的阻抗。

网络理论 - 节点分析

求解任何电网络有两种基本方法：节点分析和网孔分析。在本节中，让我们讨论节点分析方法。

在节点分析中，我们将考虑相对于地面的节点电压。因此，节点分析也称为节点电压法。

节点分析步骤

使用节点分析法求解任何电网络或电路时，请遵循以下步骤。

• 步骤1 - 识别主节点并选择其中一个作为参考节点。我们将该参考节点视为接地。

• 步骤2 - 对所有主节点（除参考节点外）相对于地标记节点电压。

• 步骤3 - 在所有主节点（除参考节点外）处编写节点方程。节点方程是首先应用KCL，然后应用欧姆定律得到的。

• 步骤4 - 求解步骤3中得到的节点方程，以获得节点电压。

现在，我们可以通过使用节点电压找到流过任何元件的电流和任何元件上的电压。

示例

使用节点分析法求以下电路中20 Ω电阻的电流。

步骤1 - 上述电路中有三个主节点。它们在下面的图中标记为1、2和3。

在上图中，将节点3作为参考节点（接地）。

步骤2 - 节点电压V₁和V₂在下面的图中标记。

在上图中，V₁是节点1相对于地面的电压，V₂是节点2相对于地面的电压。

步骤3 - 在这种情况下，我们将得到两个节点方程，因为除了接地以外还有两个主节点1和2。当我们在一个节点处写节点方程时，假设所有电流都从该节点流出（对于未提及电流方向的节点），并且该节点的电压大于电路中其他节点电压。

节点1处的节点方程为

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2 V_1 - 40 + V_1 + V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 4V_1 - 40 - V_2 = 0$$

$\Rightarrow V_2 = 4V_1 - 40$ 方程1

节点2处的节点方程为

$$-4 + \frac{V_2}{20} + \frac{V_2 - V_1}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{-80 + V_2 + 2V_2 - 2V_2}{20} = 0$$

$\Rightarrow 3V_2 − 2V_1 = 80$ 方程2

步骤4 - 通过求解方程1和方程2找到节点电压V₁和V₂。

将方程1代入方程2。

$$3(4 V_1 - 40) - 2 V_1 = 80$$

$$\Rightarrow 12 V_1 - 120 - 2V_1 =80$$

$$\Rightarrow 10 V_1 = 200$$

$$\Rightarrow V_1 = 20V$$

将V₁ = 20 V代入方程1。

$$V_2 = 4(20) - 40$$

$$\Rightarrow V_2 = 40V$$

因此，我们得到了节点电压V₁和V₂分别为20 V和40 V。

步骤5 - 20 Ω电阻上的电压就是节点电压V₂，等于40 V。现在，我们可以使用欧姆定律找到流过20 Ω电阻的电流。

$$I_{20 \Omega} = \frac{V_2}{R}$$

将V₂和R的值代入上述方程。

$$I_{20 \Omega} = \frac{40}{20}$$

$$\Rightarrow I_{20 \Omega} = 2A$$

因此，给定电路中20 Ω电阻的电流为2 A。

注意 - 从上面的例子中，我们可以得出结论，如果电路有'n'个主节点（除参考节点外），则我们必须求解'n'个节点方程。因此，当主节点数（除参考节点外）小于任何电路的网孔数时，我们可以选择节点分析。

网络理论 - 网孔分析

在网孔分析中，我们将考虑流过每个网孔的电流。因此，网孔分析也称为网孔电流法。

支路是连接两个节点的路径，包含一个电路元件。如果一个支路只属于一个网孔，则支路电流等于网孔电流。

如果一个支路是两个网孔共有的，则当它们方向相同（或相反）时，支路电流等于两个网孔电流之和（或差）。

网孔分析步骤

使用网孔分析法求解任何电网络或电路时，请遵循以下步骤。

• 步骤 1 − 识别网孔并为网孔电流标注方向，顺时针或逆时针。

• 步骤 2 − 观察通过每个元件的电流，用网孔电流表示。

• 步骤 3 − 为所有网孔编写网孔方程。网孔方程是先应用基尔霍夫电压定律（KVL），再应用欧姆定律得到的。

• 步骤 4 − 求解步骤 3 中得到的网孔方程，以获得网孔电流。

现在，我们可以利用网孔电流找到给定网络中任何元件的电流和任何元件两端的电压。

示例

使用网孔分析法求解30 Ω电阻两端的电压。

步骤 1 − 上述电路有两个网孔。网孔电流I₁和I₂均设定为顺时针方向。这些网孔电流如下图所示。

步骤 2 − 网孔电流I₁流过20 V电压源和5 Ω电阻。同样，网孔电流I₂流过30 Ω电阻和-80 V电压源。但是，由于10 Ω电阻是两个网孔的公共支路，因此通过它的电流是两个网孔电流I₁和I₂的差值。

步骤 3 − 在这种情况下，由于给定电路有两个网孔，我们将得到两个网孔方程。在编写网孔方程时，假设该特定网孔的网孔电流大于电路中所有其他网孔电流。

第一个网孔的网孔方程为

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\Rightarrow 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\Rightarrow 10I_2 = 15I_1 - 20$$

将上述方程除以5。

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

将上述方程乘以2。

$4I_2 = 6I_1 - 8$ 方程 1

第二个网孔的网孔方程为

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

将上述方程除以10。

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\Rightarrow -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ 方程 2

步骤 4 − 通过求解方程 1 和方程 2 来求解网孔电流I₁和I₂。

方程 1 和方程 2 的左侧项相同。因此，为了找到I₁的值，将方程 1 和方程 2 的右侧项相等。

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\Rightarrow 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

将I₁的值代入方程 2。

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

因此，我们得到了网孔电流I₁和I₂分别为$\mathbf{\frac{16}{5}}$ A和$\mathbf{\frac{14}{5}}$ A。

步骤 5 − 流过30 Ω电阻的电流就是网孔电流I₂，等于$\frac{14}{5}$ A。现在，我们可以使用欧姆定律求解30 Ω电阻两端的电压。

$$V_{30 \Omega} = I_2 R$$

将I₂和R的值代入上述方程。

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\Rightarrow V_{30 \Omega} = 84V$$

因此，给定电路中30 Ω电阻两端的电压为84 V。

注 1 − 从上面的例子可以得出结论，如果一个电路有‘m’个网孔，我们就需要求解‘m’个网孔方程。因此，当网孔数量小于任何电路的主节点数（参考节点除外）时，我们可以选择网孔分析法。

注 2 − 当网孔数量等于任何电路的主节点数（参考节点除外）时，我们可以选择节点分析法或网孔分析法。

网络理论 - 等效电路

如果一个电路包含两个或多个相同的无源元件，并且它们仅以串联或并联方式连接，那么我们可以用一个等效的无源元件来代替它们。因此，这个电路称为等效电路。

在本节中，让我们讨论以下两个等效电路。

• 串联等效电路
• 并联等效电路

串联等效电路

如果相同的无源元件串联连接，则相同的电流将流过所有这些元件。但是，电压将在每个元件上分配。

考虑以下电路图。

它有一个电压源（V_S）和三个电阻，电阻值分别为R₁、R₂和R₃。所有这些元件都串联连接。电流IS流过所有这些元件。

上述电路只有一个网孔。该网孔的基尔霍夫电压定律（KVL）方程为

$$V_S = V_1 + V_2 + V_3$$

将$V_1 = I_S R_1, \: V_2 = I_S R_2$和$V_3 = I_S R_3$代入上述方程。

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 + I_S R_3$$

$$\Rightarrow V_S = I_S(R_1 + R_2 + R_3)$$

上述方程的形式为$V_S = I_S R_{Eq}$，其中，

$$R_{Eq} = R_1 + R_2 + R_3$$

给定电路的等效电路图如下图所示。

这意味着，如果多个电阻串联连接，则可以用一个等效电阻来代替它们。这个等效电阻的阻值等于所有这些多个电阻阻值的总和。

注 1 − 如果‘N’个电感，其电感值分别为L₁、L₂、…、L_N，串联连接，则等效电感将为

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N$$

注 2 − 如果‘N’个电容，其电容值分别为C₁、C₂、…、C_N，串联连接，则等效电容将为

$$\frac{1}{C_{Eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_N}$$

并联等效电路

如果相同的无源元件并联连接，则每个元件两端将保持相同的电压。但是，流过每个元件的电流将被分配。

考虑以下电路图。

它有一个电流源（I_S）和三个电阻，电阻值分别为R₁、R₂和R₃。所有这些元件都并联连接。电压（V_S）出现在所有这些元件的两端。

上述电路只有一个主节点（P），接地节点除外。该主节点（P）的基尔霍夫电流定律（KCL）方程为

$$I_S = I_1 + I_2 + I_3$$

将$I_1 = \frac{V_S}{R_1}, \: I_2 = \frac{V_S}{R_2}$和$I_3 = \frac{V_S}{R_3}$代入上述方程。

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} + \frac{V_S}{R_3}$$

$$\Rightarrow I_S = V_S \lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S\left [ \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup} \right ]$$

上述方程的形式为V_S = I_SR_Eq，其中，

$$R_{Eq} = \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup}$$

$$\frac{1}{R_{Eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

给定电路的等效电路图如下图所示。

这意味着，如果多个电阻并联连接，则可以用一个等效电阻来代替它们。这个等效电阻的阻值等于所有这些多个电阻的每个阻值的倒数之和的倒数。

注 1 − 如果‘N’个电感，其电感值分别为L₁、L₂、…、L_N，并联连接，则等效电感将为

$$\frac{1}{L_{Eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N}$$

注 2 − 如果‘N’个电容，其电容值分别为C₁、C₂、…、C_N，并联连接，则等效电容将为

$$C_{Eq} = C_1 + C_2 + ... + C_N$$

等效电路示例问题

在上一节中，我们分别讨论了串联组合和并联组合的等效电路。在本节中，让我们通过考虑相同无源元件的串联和并联组合来解决一个示例问题。

示例

让我们求解以下电网络中A&B端子间的等效电阻。

我们将通过将上述网络简化为这两个端子之间的一个电阻来获得A&B端子间的等效电阻。为此，我们必须识别串联和并联连接的电阻组合，然后在每一步中找到相应形式的等效电阻。

给定的电网络修改为以下形式，如下图所示。

在上图中，字母C到G用于标记不同的端子。

步骤 1 − 在上述网络中，两个6 Ω电阻并联连接。因此，D&E之间的等效电阻将为3 Ω。这可以通过以下简化得到。

$$R_{DE} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$$

在上述网络中，4 Ω和8 Ω电阻串联连接。因此，F&G之间的等效电阻将为12 Ω。这可以通过以下简化得到。

$$R_{FG} = 4 + 8 = 12 \Omega$$

步骤 2 − 步骤 1之后简化的电网络如下图所示。

在上述网络中，两个3 Ω电阻串联连接。因此，C&E之间的等效电阻将为6 Ω。这可以通过以下简化得到。

$$R_{CE} = 3 + 3 = 6 \Omega$$

步骤 3 − 步骤 2之后简化的电网络如下图所示。

在上述网络中，6 Ω和12 Ω电阻并联连接。因此，C&B之间的等效电阻将为4 Ω。这可以通过以下简化得到。

$$R_{CB} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$$

步骤 4 − 步骤 3 之后简化的电网络如下图所示。

在上图网络中，电阻2 Ω和4 Ω在端点 A 和 B 之间串联连接。因此，A 和 B 之间的等效电阻将为 6 Ω。可以通过以下简化得到。

$$R_{AB} = 2 + 4 = 6 \Omega$$

因此，给定电网络端点 A 和 B 之间的等效电阻为6 Ω。

网络理论 - 戴尔塔-星形变换

在上一章中，我们讨论了一个与等效电阻相关的示例问题。在那里，我们很容易计算出给定电网络端点 A 和 B 之间的等效电阻。因为，在每一步中，我们都得到了串联或并联连接的电阻组合。

然而，在某些情况下，很难通过遵循之前的方法来简化网络。例如，电阻以戴尔塔 (δ) 形或星形连接。在这种情况下，我们必须将一种形式的网络转换为另一种形式，以便进一步使用串联或并联组合对其进行简化。在本章中，让我们讨论戴尔塔-星形变换。

戴尔塔网络

考虑如下图所示的戴尔塔网络。

当第三个端点保持断开时，以下等式表示戴尔塔网络两个端点之间的等效电阻。

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

星形网络

下图显示了对应于上述戴尔塔网络的等效星形网络。

当第三个端点保持断开时，以下等式表示星形网络两个端点之间的等效电阻。

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

星形网络电阻根据戴尔塔网络电阻表示

通过将上述等式中左右侧项相同的等式右侧项相等，我们将得到以下等式。

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 3

通过将上述三个等式相加，我们将得到

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 4

从等式 4 中减去等式 2。

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

通过从等式 4 中减去等式 3，我们将得到

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

通过从等式 4 中减去等式 1，我们将得到

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

通过使用上述关系，我们可以根据戴尔塔网络的电阻找到星形网络的电阻。通过这种方式，我们可以将戴尔塔网络转换为星形网络。

示例

让我们计算星形网络的电阻，它们等效于如下图所示的戴尔塔网络。

给定戴尔塔网络的电阻为R₁ = 10 Ω、R₂ = 60 Ω 和R₃ = 30 Ω。

我们知道星形网络电阻根据戴尔塔网络电阻表示的以下关系。

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

将R₁、R₂和R₃的值代入上述等式。

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

因此，我们得到了星形网络的电阻为R_A = 6 Ω、R_B = 18 Ω和R_C = 3 Ω，它们等效于给定戴尔塔网络的电阻。

网络理论 - 星形-戴尔塔变换

在上一章中，我们讨论了将戴尔塔网络转换为等效星形网络。现在，让我们讨论将星形网络转换为等效戴尔塔网络。此转换称为星形-戴尔塔变换。

在上一章中，我们从戴尔塔网络中得到了星形网络的电阻为

$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 1

$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 2

$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 3

戴尔塔网络电阻根据星形网络电阻表示

让我们操作上述等式，以便根据星形网络的电阻得到戴尔塔网络的电阻。

• 乘以每组两个等式，然后相加。

$$R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2^2 R_3 + R_2 R_3^2 R_1 + R_3 R_1^2 R_2}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3(R_1 + R_2 + R_3)}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 4

• 通过将等式 4 除以等式 2，我们将得到

$$\frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B} = R_1$$

$$\Rightarrow R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

• 通过将等式 4 除以等式 3，我们将得到

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

• 通过将等式 4 除以等式 1，我们将得到

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

通过使用上述关系，我们可以根据星形网络的电阻找到戴尔塔网络的电阻。通过这种方式，我们可以将星形网络转换为戴尔塔网络。

示例

让我们计算戴尔塔网络的电阻，它们等效于如下图所示的星形网络。

给定星形网络的电阻为R_A = 6 Ω、R_B = 18 Ω和R_C = 3 Ω。

我们知道戴尔塔网络电阻根据星形网络电阻表示的以下关系。

$$R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

将R_A、R_B和R_C的值代入上述等式。

$$R_1 = 3 + 6 + \frac{3 \times 6}{18} = 9 + 1 = 10 \Omega$$

$$R_2 = 6 + 18 + \frac{6 \times 18}{3} = 24 + 36 = 60 \Omega$$

$$R_3 = 18 + 3 + \frac{18 \times 3}{6} = 21 + 9 = 30 \Omega$$

因此，我们得到了戴尔塔网络的电阻为R₁ = 10 Ω、R₂ = 60 Ω和R₃ = 30 Ω，它们等效于给定星形网络的电阻。

网络理论 - 网络拓扑

网络拓扑是电路的图形表示。它可用于通过将复杂电路转换为网络图来分析复杂电路。网络拓扑也称为图论。

网络拓扑的基本术语

现在，让我们讨论一下此网络拓扑中涉及的基本术语。

图

网络图简称为图。它由一组通过分支连接的节点组成。在图中，节点是两个或多个分支的公共点。有时，只有一个分支可能连接到节点。分支是连接两个节点的线段。

任何电路或网络都可以通过用短路替换无源元件和电压源，用开路替换电流源，转换为其等效图。这意味着，图中的线段表示对应于电路的无源元件或电压源的分支。

示例

让我们考虑以下电路。

在上图电路中，有四个主节点，分别用 1、2、3 和 4 标记。上图电路中有七个分支，其中一个分支包含 20 V 电压源，另一个分支包含 4 A 电流源，其余五个分支包含电阻，电阻分别为 30 Ω、5 Ω、10 Ω、10 Ω 和 20 Ω。

对应于上述电路的等效图如下图所示。

在上图中，有四个节点，分别用 1、2、3 和 4 标记。这些与电路中的主节点相同。上图中有六个分支，分别用 a、b、c、d、e 和 f 标记。

在这种情况下，图中的分支数量减少了一个，因为在将电路转换为其等效图时，4 A 电流源被设为开路。

从这个例子中，我们可以得出以下几点 -

• 图中节点的数量将等于电路中主节点的数量。

• 图中分支的数量将小于或等于电路中分支的数量。

图的类型

以下是图的类型 -

• 连通图
• 非连通图
• 有向图
• 无向图

现在，让我们逐一讨论这些图。

连通图

如果图的任意两个节点之间至少存在一个分支，则称为连通图。这意味着，连通图中的每个节点都将具有一个或多个连接到它的分支。因此，不会出现孤立或分离的节点。

前面示例中显示的图是连通图。在这里，所有节点都通过三个分支连接。

非连通图

如果图中至少存在一个节点，即使是单个分支也没有连接到它，则称为非连通图。因此，非连通图中将存在一个或多个孤立节点。

考虑下图所示的图。

在这个图中，节点 2、3 和 4 通过两个分支连接。但是，甚至没有一个分支连接到节点 1。因此，节点 1 成为孤立节点。因此，上图是非连通图。

有向图

如果图的所有分支都用箭头表示，则该图称为有向图。这些箭头表示每个分支中电流的方向。因此，此图也称为定向图。

考虑下图所示的图。

在上图中，电流流动的方向用每条支路上的箭头表示。因此，它是一个**有向图**。

无向图

如果图的支路没有用箭头表示，则该图称为**无向图**。由于没有电流流动的方向，因此该图也称为**无定向图**。

本章第一个示例中所示的图是**无定向图**，因为该图的支路上没有箭头。

子图及其类型

图的一部分称为**子图**。我们通过移除给定图的一些节点和/或支路来获得子图。因此，子图的支路和/或节点的数量将小于原始图。因此，我们可以得出结论，子图是图的子集。

以下是**两种**类型的子图。

• 树
• 余树

树

树是给定图的一个连通子图，它包含图的所有节点。但是，该子图中不应该有任何回路。树的支路称为**树枝**。

考虑以下图的**连通子图**，该图显示在本章开头的示例中。

此连通子图包含给定图的所有四个节点，并且没有回路。因此，它是一棵**树**。

这棵树只有三条支路，而给定图有六条支路。因为，如果我们考虑图中剩余支路的任何一条，则上述连通子图中将存在回路。然后，生成的连通子图将不再是一棵树。

从上面的树中，我们可以得出结论，树中存在的**支路数**应等于**n - 1**，其中“n”是给定图的节点数。

余树

余树是一个子图，它是由形成树时移除的支路形成的。因此，它被称为树的**补图**。对于每棵树，都将有一个相应的余树，其支路称为**连支**或弦。通常，连支用虚线表示。

以下图显示了与上述树相对应的**余树**。

此余树只有三个节点，而不是给定图的四个节点，因为节点 4 与上述余树隔离。因此，余树不必是连通子图。此余树有三条支路，它们形成一个回路。

余树中存在的**支路数**将等于给定图的支路数与树枝数之差。数学上，可以写成

$$l = b - (n - 1)$$

$$l = b - n + 1$$

其中，

• l 是连支数。
• b 是给定图中存在的支路数。
• n 是给定图中存在的节点数。

如果我们组合一棵树及其相应的余树，我们将得到如下所示的**原始图**。

树支路 d、e 和 f 用实线表示。余树支路 a、b 和 c 用虚线表示。

网络拓扑矩阵

在上一章中，我们讨论了如何将电路转换为等效图。现在，让我们讨论网络拓扑矩阵，它们可用于使用其等效图解决任何电路或网络问题。

与网络图相关的矩阵

以下是图论中使用的三个矩阵。

• 关联矩阵
• 基本回路矩阵
• 基本割集矩阵

关联矩阵

关联矩阵表示给定电路或网络的图。因此，可以从**关联矩阵**绘制相同电路或网络的图。

我们知道图由一组节点组成，这些节点通过一些支路连接。因此，支路与节点的连接称为关联。关联矩阵用字母 A 表示。它也称为节点到支路的关联矩阵或**节点关联矩阵**。

如果**有向图**中有“n”个节点和“b”个支路，则关联矩阵将有“n”行和“b”列。这里，行和列分别对应于有向图的节点和支路。因此，关联矩阵的**阶数**将为**n × b**。

**关联矩阵的元素**将具有以下三个值之一：+1、-1 和 0。

• 如果支路电流从选定的节点离开，则元素的值将为 +1。

• 如果支路电流进入选定的节点，则元素的值将为 -1。

• 如果支路电流既不进入选定的节点也不离开选定的节点，则元素的值将为 0。

查找关联矩阵的步骤

按照以下步骤查找有向图的关联矩阵。

• 一次选择给定有向图的一个节点，并在关联矩阵中对应于该节点的行中填写元素的值。

• 对给定有向图的所有节点重复上述步骤。

示例

考虑以下**有向图**。

与上述有向图相对应的**关联矩阵**将为

$$A = \begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

上述矩阵的行和列分别表示给定有向图的节点和支路。此关联矩阵的阶数为 4 × 6。

通过观察上述关联矩阵，我们可以得出结论，关联矩阵的列元素的**和**等于零。这意味着，支路电流只从一个节点离开并进入另一个节点。

**注意** - 如果给定的图是无向图，则通过在每条支路上表示箭头将其转换为有向图。我们可以考虑每条支路中电流流动的任意方向。

基本回路矩阵

基本回路或**f-回路**是一个回路，它只包含一个连支和一个或多个树枝。因此，f-回路的数量将等于连支的数量。基本回路矩阵用字母 B 表示。它也称为**基本回路矩阵**和联接集矩阵。此矩阵给出了支路电流和连支电流之间的关系。

如果**有向图**中有“n”个节点和“b”个支路，则与给定图的选定树相对应的余树中存在的连支数将为 b-n+1。

因此，基本回路矩阵将有“b-n+1”行和“b”列。这里，行和列分别对应于余树的连支和给定图的支路。因此，基本回路矩阵的阶数将为**(b - n + 1) × b**。

**基本回路矩阵的元素**将具有以下三个值之一：+1、-1 和 0。

• 对于选定 f-回路的连支，元素的值将为 +1。

• 对于不属于选定 f-回路的其余连支和树枝，元素的值将为 0。

• 如果选定 f-回路的树枝电流方向与 f-回路连支电流方向相同，则元素的值将为 +1。

• 如果选定 f-回路的树枝电流方向与 f-回路连支电流方向相反，则元素的值将为 -1。

查找基本回路矩阵的步骤

按照以下步骤查找给定有向图的基本回路矩阵。

• 选择给定有向图的一棵树。

• 通过一次包含一个连支，我们将得到一个 f-回路。在基本回路矩阵的一行中填写对应于此 f-回路的元素的值。

• 对所有连支重复上述步骤。

示例

看一下以下**有向图**的树，该树用于关联矩阵。

上述树包含三条支路 d、e 和 f。因此，支路 a、b 和 c 将是与上述树相对应的余树的连支。通过一次将一个连支包含到上述树中，我们将得到一个**f-回路**。因此，将有三个**f-回路**，因为有三个连支。这三个 f-回路显示在以下图中。

在上图中，用彩色线表示的支路形成 f-回路。我们将从每个 f-回路获得联接集矩阵的行元素值。因此，上述考虑的树的**联接集矩阵**将为

$$B = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

上述矩阵的行和列分别表示给定有向图的连支和支路。此关联矩阵的阶数为 3 × 6。

有向图的**基本回路矩阵数**将等于该有向图的树数。因为，每棵树都将有一个基本回路矩阵。

基本割集矩阵

基本割集或**f-割集**是从图中移除的最小数量的支路，以使原始图变成两个孤立的子图。f-割集只包含**一个树枝**和一个或多个连支。因此，f-割集的数量将等于树枝的数量。

**基本割集矩阵**用字母 C 表示。此矩阵给出了支路电压和树枝电压之间的关系。

如果**有向图**中有“n”个节点和“b”个支路，则给定图的选定树中存在的树枝数将为 n-1。因此，基本割集矩阵将有“n-1”行和“b”列。这里，行和列分别对应于选定树的树枝和给定图的支路。因此，基本割集矩阵的**阶数**将为**(n-1) × b**。

**基本割集矩阵的元素**将具有以下三个值之一：+1、-1 和 0。

• 对于选定 f-割集的树枝，元素的值将为 +1。

• 对于未选择为f-割集一部分的剩余树枝和连枝，其元素值为0。

• 如果所选f-割集的连枝电流方向与f-割集树枝电流方向相同，则元素值为+1。

• 如果所选f-割集的连枝电流方向与f-割集树枝电流方向相反，则元素值为-1。

求解基本割集矩阵的步骤

按照以下步骤求解给定有向图的基本割集矩阵。

• 选择给定有向图的一棵树，并用虚线表示连枝。

• 每次移除一个树枝和必要的连枝，我们将得到一个f-割集。将对应于此f-割集的元素值填入基本割集矩阵的一行。

• 对所有树枝重复上述步骤。

示例

考虑我们在关联矩阵部分讨论的相同**有向图**。选择此有向图中的分支d、e和f作为树枝。因此，此有向图中剩余的分支a、b和c将是连枝。

**树枝**d、e和f用实线表示，**连枝**a、b和c用虚线表示，如下图所示。

每次移除一个树枝和必要的连枝，我们将得到一个f-割集。因此，由于有三个树枝，所以将有三个f-割集。这三个**f-割集**如下图所示。

通过移除C₁、C₂和C₃的一组树枝和连枝，我们将得到三个f-割集。我们将从每个f-割集中得到基本割集矩阵的行元素值。因此，上述所考虑树的**基本割集矩阵**为

$$C = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

上述矩阵的行和列分别表示给定有向图的树枝和分支。此基本割集矩阵的阶数为3×6。

有向图的**基本割集矩阵的数量**将等于该有向图的树的数量。因为每棵树都将有一个基本割集矩阵。

网络理论 -叠加定理

**叠加定理**基于电路上响应与激励之间线性关系的概念。它指出，当多个独立电源同时作用时，线性电路中特定分支的响应等效于每个独立电源单独作用时响应的总和。

在这种方法中，我们将一次只考虑**一个独立电源**。因此，我们必须从电路中消除其余的独立电源。我们可以通过短接电压源的两端来消除电压源，类似地，通过断开电流源的两端来消除电流源。

因此，如果存在“n”个独立电源，我们需要找到特定分支的“n”次响应。特定分支的响应可以是流过该分支的电流或该分支上的电压。

叠加定理的步骤

按照以下步骤使用叠加定理求解特定分支的响应。

**步骤1** - 通过考虑一个独立电源并消除网络中存在的其余独立电源，找到特定分支的响应。

**步骤2** - 对网络中存在的每个独立电源重复步骤1。

**步骤3** - 将所有响应相加，以获得网络中存在所有独立电源时特定分支的整体响应。

示例

使用**叠加定理**求解以下电路中20Ω电阻的电流。

**步骤1** - 让我们通过只考虑**20V电压源**来求解流过20Ω电阻的电流。在这种情况下，我们可以通过将其断路来消除4A电流源。修改后的电路图如下所示。

在上述电路中，除了地之外只有一个主节点。因此，我们可以使用**节点分析法**。节点电压V₁在下面的图中标出。这里，V₁是节点1相对于地的电压。

节点1处的节点方程为

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1}{10 + 20} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{6V_1 - 120 + 3V_1 + V_1}{30} = 0$$

$$\Rightarrow 10V_1 = 120$$

$$\Rightarrow V_1 = 12V$$

可以通过以下简化求解流过20Ω电阻的**电流**。

$$I_1 = \frac{V_1}{10 + 20}$$

将V₁的值代入上述方程。

$$I_1 = \frac{12}{10 + 20} = \frac{12}{30} = 0.4 A$$

因此，当仅考虑20V电压源时，流过20Ω电阻的电流为**0.4A**。

**步骤2** - 让我们通过只考虑**4A电流源**来求解流过20Ω电阻的电流。在这种情况下，我们可以通过将其短路来消除20V电压源。修改后的电路图如下所示。

在上述电路中，A和B端子左侧有三个电阻。我们可以用一个**等效电阻**替换这些电阻。这里，5Ω和10Ω电阻并联连接，整个组合与10Ω电阻串联连接。

A和B端子左侧的**等效电阻**为

$$R_{AB} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

简化的电路图如下所示。

我们可以使用**电流分配原理**求解流过20Ω电阻的电流。

$$I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

将$I_S = 4A,\: R_1 = \frac{40}{3} \Omega$和$R_2 = 20 \Omega$代入上述方程。

$$I_2 = 4 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup = 4 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 1.6 A$$

因此，当仅考虑4A电流源时，流过20Ω电阻的电流为**1.6A**。

**步骤3** - 我们将通过对步骤1和步骤2中得到的两个电流进行**相加**，得到给定电路中流过20Ω电阻的电流。在数学上，可以写成

$$I = I_1 + I_2$$

将I₁和I₂的值代入上述方程。

$$I = 0.4 + 1.6 = 2 A$$

因此，给定电路中20 Ω电阻的电流为2 A。

**注意** - 我们不能直接应用叠加定理来求解线性电路中任何电阻的**功率**，仅仅通过对每个独立电源导致的该电阻的功率进行相加。相反，我们可以使用叠加定理计算流过该电阻的总电流或该电阻上的电压，并由此使用$I^2 R$或$\frac{V^2}{R}$计算传递到该电阻的功率。

网络理论 - 戴维宁定理

**戴维宁定理**指出，任何双端线性网络或电路都可以用一个等效网络或电路表示，该网络或电路由一个电压源与一个电阻串联组成。它被称为戴维宁等效电路。线性电路可能包含独立电源、依赖电源和电阻。

如果电路包含多个独立电源、依赖电源和电阻，则可以通过用**戴维宁等效电路**替换该元件左侧的整个网络来轻松找到该元件的响应。

**元件的响应**可以是该元件上的电压、流过该元件的电流或该元件上耗散的功率。

此概念在下图中进行了说明。

**戴维宁等效电路**类似于一个实际电压源。因此，它有一个与电阻串联的电压源。

• 戴维宁等效电路中存在的电压源称为戴维宁等效电压或简称**戴维宁电压，V_Th**。

• 戴维宁等效电路中存在的电阻称为戴维宁等效电阻或简称**戴维宁电阻，R_Th**。

求解戴维宁等效电路的方法

有三种方法可以求解戴维宁等效电路。根据网络中存在的**电源类型**，我们可以选择这三种方法之一。现在，让我们逐一讨论两种方法。我们将在下一章中讨论第三种方法。

方法1

当仅存在**独立类型电源**时，请按照以下步骤求解戴维宁等效电路。

• **步骤1** - 通过打开需要求解戴维宁等效电路的端子来考虑电路图。

• **步骤2** - 求解上述电路开路端子上的戴维宁电压**V_Th**。

• **步骤3** - 通过消除其中存在的独立电源，求解上述电路开路端子上的戴维宁电阻**R_Th**。

• **步骤4** - 通过将戴维宁电压V_Th与戴维宁电阻R_Th串联连接，绘制**戴维宁等效电路**。

现在，我们可以求解位于戴维宁等效电路右侧的元件的响应。

示例

首先求解A和B端子左侧的**戴维宁等效电路**，然后求解流过20Ω电阻的电流。

**步骤1** - 为了求解A和B端子左侧的戴维宁等效电路，我们应该通过**打开A和B端子**从网络中移除20Ω电阻。修改后的电路图如下所示。

**步骤2** - 计算**戴维宁电压V_Th**。

在上述电路中，除了地之外只有一个主节点。因此，我们可以使用**节点分析法**。节点电压V₁和戴维宁电压V_Th在上述图中标出。这里，V₁是节点1相对于地的电压，V_Th是4A电流源上的电压。

• 节点1处的节点方程为

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} - 4 = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2V_1 - 40 + V_1 - 40}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 3V_1 - 80 = 0$$

$$\Rightarrow V_1 = \frac{80}{3}V$$

• 串联分支10Ω电阻上的电压为

$$V_{10 \Omega} = (-4)(10) = -40V$$

• 上述电路中有两个回路。第二个回路的**KVL方程**为

$$V_1 - V_{10 \Omega} - V_{Th} = 0$$

• 将$V_1$和$V_{10 \Omega}$的值代入上述方程。

$$\frac{80}{3} - (-40) - V_{Th} = 0$$

$$V_{Th} = \frac{80 + 120}{3} = \frac{200}{3}V$$

• 因此，戴维宁电压为$V_{Th} = \frac{200}{3}V$

**步骤3** - 计算**戴维宁电阻R_Th**。

为了计算A和B端子上的戴维宁电阻R_Th，将上述电路中的电压源短路并电流源开路。**修改后的电路图**如下所示。

A和B端子上的戴维宁电阻为

$$R_{Th} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

因此，戴维宁电阻为$\mathbf {R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega}$。

**步骤4** - 将戴维宁等效电路放置在给定电路中A和B端子的左侧。此电路图如下所示。

可以通过将V_Th, R_Th和R的值代入以下方程，求解流过20Ω电阻的电流。

$$l = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R}$$

$$l = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3} + 20} = \frac{200}{100} = 2A$$

因此，流过20Ω电阻的电流为**2A**。

方法 2

当既有独立源又有受控源时，按照以下步骤求解戴维南等效电路。

• 步骤 1 − 考虑电路图，并断开需要求解戴维南等效电路的两个端点。

• **步骤2** - 求解上述电路开路端子上的戴维宁电压**V_Th**。

• 步骤 3 − 将上述电路的两个断开端点短路，求解短路电流I_SC。

• 步骤 4 − 使用以下公式求解戴维南电阻R_Th。

$$R_{Th} = \frac{V_{Th}}{I_{SC}}$$

步骤 5 − 将戴维南电压V_Th与戴维南电阻R_Th串联，绘制戴维南等效电路。

现在，我们可以求解戴维南等效电路右侧元件的响应。

网络理论 - 诺顿定理

诺顿定理与戴维南定理类似。它指出，任何一个二端线性网络或电路都可以用一个等效网络或电路来表示，该等效网络或电路由一个电流源与一个电阻并联组成。它被称为诺顿等效电路。一个线性电路可能包含独立源、受控源和电阻。

如果一个电路包含多个独立源、受控源和电阻，那么可以通过用诺顿等效电路替换该元件左侧的整个网络来轻松求解该元件的响应。

元件的响应可以是该元件两端的电压、流过该元件的电流或该元件上耗散的功率。

此概念在下图中进行了说明。

诺顿等效电路类似于一个实际电流源。因此，它包含一个与电阻并联的电流源。

• 诺顿等效电路中的电流源称为诺顿等效电流或简称为诺顿电流 I_N。

• 诺顿等效电路中的电阻称为诺顿等效电阻或简称为诺顿电阻 R_N。

求解诺顿等效电路的方法

求解诺顿等效电路有三种方法。根据网络中存在的源类型，我们可以选择这三种方法中的一种。现在，让我们逐一讨论这三种方法。

方法1

当网络中只有独立源时，按照以下步骤求解诺顿等效电路。

• 步骤 1 − 考虑电路图，并断开需要求解诺顿等效电路的两个端点。

• 步骤 2 − 将上述电路的两个断开端点短路，求解诺顿电流I_N。

• 步骤 3 − 在步骤 1 中考虑的电路的开路端点之间，通过消除其中存在的独立源来求解诺顿电阻R_N。诺顿电阻R_N与戴维南电阻R_Th相同。

• 步骤 4 − 将诺顿电流 IN 与诺顿电阻 R_N并联，绘制诺顿等效电路。

现在，我们可以求解诺顿等效电路右侧元件的响应。

方法 2

当既有独立源又有受控源时，按照以下步骤求解诺顿等效电路。

• 步骤 1 − 考虑电路图，并断开需要求解诺顿等效电路的两个端点。

• 步骤 2 − 求解上述电路开路端点之间的开路电压V_OC。

• 步骤 3 − 将上述电路的两个断开端点短路，求解诺顿电流I_N。

• 步骤 4 − 使用以下公式求解诺顿电阻R_N。

$$R_N = \frac{V_{OC}}{I_N}$$

• 步骤 5 − 将诺顿电流 I_N与诺顿电阻 R_N并联，绘制诺顿等效电路。

现在，我们可以求解诺顿等效电路右侧元件的响应。

方法 3

这是一种求解诺顿等效电路的替代方法。

• 步骤 1 − 在所需的两个端点之间求解戴维南等效电路。我们知道它包含一个戴维南电压源 V_Th和一个戴维南电阻 R_Th。

• 步骤 2 − 对上述戴维南等效电路应用源变换技术。我们将得到诺顿等效电路。这里，

诺顿电流为：

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

诺顿电阻为：

$$R_N = R_{Th}$$

此概念在下图中进行了说明。

现在，我们可以通过将诺顿等效电路放置在该元件左侧来求解元件的响应。

注意 − 类似地，我们也可以先求解诺顿等效电路，然后对其应用源变换技术来求解戴维南等效电路。此概念在下图中进行了说明。

这是求解戴维南等效电路的第三种方法。

示例

首先求解终端 A 和 B 左侧的诺顿等效电路，然后求解流过 20 Ω 电阻的电流。

让我们使用方法 3来解决这个问题。

步骤 1 − 在上一章中，我们计算了终端 A 和 B 左侧的戴维南等效电路。我们现在可以使用此电路。它在下图中所示。

这里，戴维南电压 $V_{Th} = \frac{200}{3} V$，戴维南电阻 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

步骤 2 − 对上述戴维南等效电路应用源变换技术。将V_Th和R_Th的值代入以下诺顿电流公式。

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

$$I_N = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3}} = 5A$$

因此，诺顿电流I_N为5 A。

我们知道诺顿电阻R_N与戴维南电阻R_Th相同。

$$\mathbf {R_N = \frac{40}{3} \Omega}$$

与上述戴维南等效电路对应的诺顿等效电路在下图中所示。

现在，将诺顿等效电路放置在给定电路的终端 A 和 B 左侧。

使用电流分配原理，流过 20 Ω 电阻的电流将为

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup$$

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 2A$$

因此，流过20Ω电阻的电流为**2A**。

最大功率传输定理

负载接收到的功率大小是电力和电子应用中的一个重要参数。在直流电路中，我们可以用一个电阻来表示负载，该电阻的阻值为 R_L 欧姆。类似地，在交流电路中，我们可以用一个复阻抗为 Z_L 欧姆的复负载来表示它。

最大功率传输定理指出，只有当负载电阻等于电源电阻时，直流电压源才能向可变负载电阻传递最大功率。

类似地，最大功率传输定理指出，只有当负载阻抗等于电源阻抗的共轭复数时，交流电压源才能向可变复负载传递最大功率。

在本章中，我们将讨论直流电路的最大功率传输定理。

最大功率传输定理的证明

用戴维南等效电路替换可变负载电阻（阻值为 R_L 欧姆）左侧的任何二端线性网络或电路。我们知道戴维南等效电路类似于一个实际电压源。

此概念在下图中进行了说明。

负载电阻上耗散的功率为

$$P_L = I^2 R_L$$

将 $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ 代入上式。

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ 公式 1

最大功率传输条件

对于最大值或最小值，一阶导数将为零。因此，对公式 1 关于R_L求导，并将其设为零。

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L)}{(R_{Th} + R_L)^4} \rbrace = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\Rightarrow R_{Th} = R_L\:或\:R_L = R_{Th}$$

因此，负载上最大功率耗散的条件是 $R_L = R_{Th}$。这意味着，如果负载电阻的值等于电源电阻（即戴维南电阻）的值，则负载上耗散的功率将为最大值。

最大功率传输的值

将 $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ 代入公式 1。

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: 因为 \: R_{L} = R_{Th}$$

因此，传输到负载的最大功率为

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

最大功率传输效率

我们可以使用以下公式计算最大功率传输效率 $\eta_{Max}$。

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ 公式 2

其中，

• $P_{L, Max}$ 是传输到负载的最大功率。

• $P_S$ 是电源产生的功率。

电源产生的功率为

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:因为\:R_{L} = R_{Th}$$

• 将 $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ 代入上式。

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

• 将 $P_{L, Max}$ 和 $P_S$ 的值代入公式 2。

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

我们可以用百分比表示最大功率传输效率，如下所示 −

$$\% \eta_{Max} = \eta_{Max} \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = 50\%$$

因此，最大功率传输效率为50 %。

示例

求解下图所示电路中可以传递到负载电阻 R_L 的最大功率。

步骤 1 − 在戴维南定理章节中，我们计算了终端 A 和 B 左侧的戴维南等效电路。我们现在可以使用此电路。它在下图中所示。

这里，戴维南电压 $V_{Th} = \frac{200}{3}V$，戴维南电阻 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

步骤 2 − 用上述戴维南等效电路替换给定电路中终端 A 和 B 左侧的部分电路。所得电路图在下图中所示。

步骤 3 − 我们可以使用以下公式求解将传递到负载电阻 R_L 的最大功率。

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

将 $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ 和 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ 代入上式。

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup } $$

$$P_{L, Max} = \frac{250}{3} W$$

因此，提供给给定电路中负载电阻 RL 的最大功率为 $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W。

网络理论 - 直流电路的响应

如果电回路对于一个输入的输出随时间变化，则称为时间响应。时间响应包含以下两个部分。

• 暂态响应
• 稳态响应

在本章中，首先让我们讨论这两个响应，然后观察一个串联 RL 电路中这两个响应，当它受到直流电压源激励时。

暂态响应

在对一个电回路施加输入后，输出需要一定时间才能达到稳态。因此，输出将处于暂态，直到它进入稳态。因此，电回路在暂态期间的响应称为暂态响应。

对于较大的“t”值，暂态响应将为零。理想情况下，这个“t”值应该是无穷大。但是，实际上五个时间常数就足够了。

暂态的存在或不存在

由于施加到电回路的电源的突然变化和/或由于开关动作，响应中会出现暂态。有两种可能的开关动作。分别是打开开关和闭合开关。

• 如果电回路或网络只包含电阻，则响应中不会出现暂态部分。因为电阻具有调节任意数量电压和电流的能力。

• 由于存在储能元件，例如电感器和电容器，电回路或网络的响应中会出现暂态部分。因为它们不能立即改变存储在这些元件中的能量。

电感器的行为

假设开关动作发生在t = 0 时。当开关动作发生时，电感电流不会瞬时变化。这意味着，开关动作后的电感电流值与开关动作前的电感电流值相同。

在数学上，它可以表示为

$$i_L (0^+) = i_L (0^-)$$

电容器的行为

当开关动作发生时，电容电压不会像电感电流那样瞬时变化。这意味着，开关动作后的电容电压值与开关动作前的电容电压值相同。

在数学上，它可以表示为

$$v_c (0^+) = v_c (0^-)$$

稳态响应

即使在暂态响应对于较大的“t”值变为零后仍然存在的时域响应部分称为稳态响应。这意味着，在稳态期间响应中不会有任何暂态部分。

电感器的行为

如果独立电源连接到具有一个或多个电感器和电阻器（可选）的电回路或网络很长时间，则称该电回路或网络处于稳态。因此，该电回路中电感器（s）中存储的能量是最大且恒定的。

在数学上，它可以表示为

$W_L = \frac{L {i_L}^2}{2} = $ 最大且恒定

$\Rightarrow i_L = $ 最大且恒定

因此，电感器在稳态下充当恒流源。

电感器两端的电压为

$$V_L = L \frac{di_{L}}{dt} = 0V$$

因此，电感器在稳态下充当短路。

电容器的行为

如果独立电源连接到具有一个或多个电容器和电阻器（可选）的电回路或网络很长时间，则称该电回路或网络处于稳态。因此，该电回路中电容器（s）中存储的能量是最大且恒定的。

在数学上，它可以表示为

$W_c = \frac{C{v_c}^2}{2} = $ 最大且恒定

$\Rightarrow v_c = $最大且恒定

因此，电容器在稳态下充当恒压源。

流过电容器的电流为

$$i_c = C\frac{dv_c}{dt} = 0A$$

因此，电容器在稳态下充当开路。

寻找串联 RL 电路的响应

考虑以下串联 RL 电路图。

在上图中，开关一直保持打开状态，直到 t = 0，并在 t = 0 时闭合。因此，电压为 V 的直流电压源直到此时都未连接到串联 RL 电路。因此，没有初始电流流过电感器。

当开关处于闭合位置时的电路图如下所示。

现在，由于电压为V的直流电压源已连接到串联 RL 电路，电流i流过整个电路。

现在，对回路应用KVL。

$$V = Ri + L \frac{di}{dt}$$

$\frac{di}{dt} + \lgroup \frac{R}{L} \rgroup i = \frac{V}{L}$公式 1

上述公式是一阶微分方程，其形式为

$\frac{dy}{dt} + Py = Q$公式 2

通过比较公式 1 和公式 2，我们将得到以下关系。

$$x = t$$

$$y = i$$

$$P = \frac{R}{L}$$

$$Q = \frac{V}{L}$$

公式 2 的解将为

$ye^{\int p dx} = \int Q e^{\int p dx} dx + k$公式 3

其中，k 为常数。

将 x、y、P 和 Q 的值代入公式 3。

$ie^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} = \int (\frac{V}{L}) \lgroup e^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} \rgroup dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \int e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \lbrace \frac{e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t}{\frac{R}{L}} \rbrace + k$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} + k e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t$公式 4

我们知道电路中没有初始电流。因此，为了找到常数k的值，将t = 0 和𝑖 = 0 代入公式 4。

$$0 = \frac{V}{R} + ke^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup(0)}$$

$$0 = \frac{V}{R} + k(1)$$

$$k = - \frac{V}{R}$$

将 k 的值代入公式 4。

$$i = \frac{V}{R} + \lgroup - \frac{V}{R} \rgroup e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

$$i = \frac{V}{R} - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

因此，流过电路的电流为

$i = - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} + \frac{V}{R}$公式 5

因此，当串联 RL 电路受到直流电压源激励时的响应具有以下两项。

• 第一项 $-\frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$ 对应于暂态响应。

• 第二项 $\frac{V}{R}$ 对应于稳态响应。这两个响应如下图所示。

我们可以如下重写公式 5 -

$i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} \rgroup$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} \rgroup$公式 6

其中，τ 是时间常数，其值为 $\frac{L}{R}$。

公式 5 和公式 6 是相同的。但是，通过将t的一些值（如 0、τ、2τ、5τ 等）代入公式 6，我们可以很容易地理解上述流过电路的电流波形。

在上图中，流过电路的电流波形中，暂态响应从零开始存在到五个时间常数，而稳态响应从五个时间常数开始存在。

网络理论 - 交流电路的响应

在上一章中，我们讨论了直流电路的暂态响应和稳态响应。在本章中，让我们讨论交流电路的响应。我们在上一章中讨论的暂态响应和稳态响应的概念在这里也同样适用。

寻找串联 RL 电路的响应

考虑以下串联 RL 电路图。

在上图中，开关一直保持打开状态，直到t = 0，并在t = 0时闭合。因此，峰值电压为V_m的交流电压源直到此时都未连接到串联 RL 电路。因此，没有初始电流流过电感器。

当开关处于闭合位置时的电路图如下所示。

现在，由于峰值电压为V_m的交流电压源已连接到串联 RL 电路，电流i(t)流过整个电路。

我们知道流过上述电路的电流i(t)将包含两项，一项表示暂态部分，另一项表示稳态部分。

在数学上，它可以表示为

$i(t) = i_{Tr}(t) + i_{ss}(t)$公式 1

其中，

• $i_{Tr}(t)$ 是流过电路的电流的暂态响应。

• $i_{ss}(t)$ 是流过电路的电流的稳态响应。

在上一章中，我们得到了流过串联 RL 电路的电流的暂态响应。它采用 $Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$ 的形式。

将 $i_{Tr}(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$ 代入公式 1。

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + i_{ss}(t)$公式 2

稳态电流的计算

如果将正弦信号作为输入施加到线性电回路，则它会产生一个稳态输出，该输出也是正弦信号。输入和输出正弦信号将具有相同的频率，但幅度和相位角不同。

当正弦电压源激励电回路时，我们可以使用拉普拉斯变换方法计算其稳态响应。

当开关处于闭合位置时的 s 域电路图如下所示。

在上图中，所有量和参数都在s 域中表示。这些是时域量和参数的拉普拉斯变换。

上述电路的传递函数为

$$H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{Z(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{R + sL}$$

在上述等式中代入 $s = j \omega$。

$$H(j \omega) = \frac{1}{R + j \omega L}$$

幅值 $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ 为

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{R^2 + {\omega}^2}L^2}$$

相位角 $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ 为

$$\angle H(j \omega) = -tan^{-1} \lgroup \frac{\omega L}{R} \rgroup$$

我们将通过以下两个步骤得到稳态电流 $i_{ss}(t)$ −

• 将输入正弦电压的峰值电压与 $H(j \omega)$ 的幅值相乘。

• 将输入正弦电压和 $H(j \omega)$ 的相位角相加。

稳态电流 $i_{ss}(t)$ 将为

$$i_{ss}(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

将 $i_{ss}(t)$ 的值代入公式 2。

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$公式 3

我们知道电路中没有初始电流。因此，在公式 3 中代入 t = 0 和 i(t) = 0 以找到常数 K 的值。

$$0 = Ke^{-\lgroup \frac{0}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega (0) + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow 0 = K + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow K = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

将 K 的值代入公式 3。

$i(t) = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$公式 4

公式 4 表示当串联 RL 电路受正弦电压源激励时流过电路的电流。它有两个项。第一项和第二项分别表示电流的瞬态响应和稳态响应。

我们可以忽略公式 4 的第一项，因为它的值远小于 1。因此，流过电路的合成电流将为

$$i(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

它只包含稳态项。因此，我们只能找到交流电路的稳态响应，而忽略其瞬态响应。

网络理论 - 串联谐振

由于存在电感和电容等储能元件，共振会发生在电路中。它是无线电和电视接收机设计的根本概念，使它们能够选择所需的电台频率。

两种类型的共振，即串联共振和并联共振。这些是根据串联或并联连接的网络元件进行分类的。在本章中，让我们讨论串联共振。

串联共振电路图

如果共振发生在串联 RLC 电路中，则称为串联共振。考虑以下串联 RLC 电路，它在相量域中表示。

这里，电阻、电感和电容等无源元件串联连接。整个组合串联连接到输入正弦电压源。

在回路中应用KVL。

$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$

$$\Rightarrow V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$

$$\Rightarrow V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$

$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$公式 1

上述等式为V = IZ的形式。

因此，串联 RLC 电路的阻抗 Z 为

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

共振时的参数和电气量

现在，让我们逐一推导出串联 RLC 电路共振时参数和电气量的值。

谐振频率

发生共振的频率称为谐振频率 f_r。在串联 RLC 电路中，当阻抗 Z 的虚部为零时发生共振，即 $X_L - X_C$ 的值应等于零。

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

在上述等式中代入 $X_L = 2 \pi f L$ 和 $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$。

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 L C}$$

$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

因此，串联 RLC 电路的谐振频率 f_r 为

$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

其中，L 是电感器的电感，C 是电容器的电容。

串联 RLC 电路的谐振频率 f_r 仅取决于电感L 和电容C。但是，它与电阻R 无关。

阻抗

我们得到串联 RLC 电路的阻抗 Z 为

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

在上述等式中代入 $X_L = X_C$。

$$Z = R + j(X_C - X_C)$$

$$\Rightarrow Z = R + j(0)$$

$$\Rightarrow Z = R$$

在共振时，串联 RLC 电路的阻抗 Z 等于电阻R 的值，即Z = R。

流过电路的电流

在公式 1 中代入 $X_L - X_C = 0$。

$$V = I[R + j(0)]$$

$$\Rightarrow V = IR$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

因此，串联 RLC 电路在共振时的电流为 $\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$。

在共振时，串联 RLC 电路的阻抗达到最小值。因此，在共振时，最大电流流过该电路。

电阻两端的电压

电阻两端的电压为

$$V_R = IR$$

在上述等式中代入I 的值。

$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup R$$

$$\Rightarrow V_R = V$$

因此，共振时电阻两端的电压为V_R = V。

电感两端的电压

电感两端的电压为

$$V_L = I(jX_L)$$

在上述等式中代入I 的值。

$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (jX_L)$$

$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_L = j QV$$

因此，共振时电感两端的电压为 $V_L = j QV$。

因此，共振时电感两端的电压幅值为

$$|V_L| = QV$$

其中Q 为品质因数，其值等于 $\frac{X_L}{R}$

电容两端的电压

电容两端的电压为

$$V_C = I(-j X_C)$$

在上述等式中代入 I 的值。

$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (-j X_C)$$

$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_C = -jQV$$

因此，共振时电容两端的电压为 $\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$。

因此，共振时电容两端的电压幅值为

$$|V_C| = QV$$

其中Q 为品质因数，其值等于 $\frac{X_{C}}{R}$

注意 - 串联共振 RLC 电路称为电压放大电路，因为电感和电容两端的电压幅值等于输入正弦电压 V 的 Q 倍。

网络理论 - 并联共振

在上一章中，我们讨论了串联共振的重要性。现在，让我们讨论 RLC 电路中的并联共振。

并联共振电路图

如果共振发生在并联 RLC 电路中，则称为并联共振。考虑以下并联 RLC 电路，它在相量域中表示。

这里，电阻、电感和电容等无源元件并联连接。整个组合并联连接到输入正弦电流源。

在节点 P 处写出节点方程。

$$- I + I_R + I_L + I_C = 0$$

$$\Rightarrow - I + \frac{V}{R} + \frac{V}{j X_L} + \frac{V}{-j X_C} = 0$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R} - \frac{jV}{X_L} + \frac{jV}{X_C}$$

$\Rightarrow I = V[\frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup]$公式 1

上述等式为I = VY的形式。

因此，并联 RLC 电路的导纳 Y 为

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

共振时的参数和电气量

现在，让我们逐一推导出并联 RLC 电路共振时参数和电气量的值。

谐振频率

我们知道谐振频率 f_r 是发生共振的频率。在并联 RLC 电路中，当导纳 Y 的虚部为零时发生共振。即 $\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}$ 的值应等于零

$$\Rightarrow \frac{1}{X_C} = \frac{1}{X_L}$$

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

上述共振条件与串联 RLC 电路的共振条件相同。因此，谐振频率 f_r 在串联 RLC 电路和并联 RLC 电路中都相同。

因此，并联 RLC 电路的谐振频率 f_r 为

$$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

其中，

• L 是电感器的电感。
• C 是电容器的电容。

并联 RLC 电路的谐振频率 f_r 仅取决于电感L 和电容C。但是，它与电阻R 无关。

导纳

我们得到并联 RLC 电路的导纳 Y 为

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

在上述等式中代入 $X_L = X_C$。

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_C} \rgroup$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R} + j(0)$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R}$$

在共振时，并联 RLC 电路的导纳 Y 等于电阻 R 的倒数，即 $\mathbf{\mathit{Y = \frac{1}{R}}}$

每个元件两端的电压

在公式 1 中代入 $\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} = 0$

$$I = V [\frac{1}{R} + j(0)]$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

$$\Rightarrow V = IR$$

因此，并联RLC电路在谐振时所有元件上的**电压**为**V = IR**。

在谐振时，并联RLC电路的导纳达到最小值。因此，在谐振时，每个元件上都存在**最大电压**。

流过电阻的电流

流过电阻的电流为

$$I_R = \frac{V}{R}$$

将V的值代入上式。

$$I_R = \frac{IR}{R}$$

$$\Rightarrow I_R = I$$

因此，谐振时**流过电阻的电流**为$\mathbf{\mathit{I_R = I}}$。

流过电感的电流

流过电感的电流为

$$I_L = \frac{V}{j X_L}$$

将V的值代入上式。

$$I_L = \frac{IR}{j X_L}$$

$$\Rightarrow I_L = -j \lgroup \frac{R}{X_L} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_L = -jQI$$

因此，谐振时**流过电感的电流**为$I_L = -jQI$。

所以，谐振时流过电感的电流**幅值**为

$$|I_L| = QI$$

其中，Q为**品质因数**，其值等于$\frac{R}{X_L}$

流过电容的电流

流过电容的电流为

$$I_C = \frac{V}{-j X_C}$$

将V的值代入上式。

$$I_C = \frac{IR}{-j X_C}$$

$$\Rightarrow I_C = j \lgroup \frac{R}{X_C} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_C = jQI$$

因此，谐振时**流过电容的电流**为$I_C = jQI$

所以，谐振时流过电容的电流**幅值**为

$$|I_C| = QI$$

其中，Q为**品质因数**，其值等于$\frac{R}{X_C}$

**注意** - 并联谐振RLC电路称为**电流放大**电路。因为，流过电感和电容的电流幅值等于输入正弦电流I的Q倍。

网络理论 - 耦合电路

当电路中存在的线圈（或电感器）之间存在互感时，该电路被称为**耦合电路**。线圈不过是电阻和电感串联的组合。在没有电阻的情况下，线圈就变成了电感器。有时，线圈和电感这两个术语可以互换使用。

在本章中，我们首先讨论点约定，然后讨论耦合的分类。

点约定

点约定是一种技术，它提供了有关带点端子上电压极性的详细信息。此信息在编写KVL方程时非常有用。

• 如果电流进入一个线圈（或电感器）的带点端子，则它会在另一个线圈（或电感器）上感应出一个电压，该电压在带点端子上具有**正极性**。

• 如果电流从一个线圈（或电感器）的带点端子离开，则它会在另一个线圈（或电感器）上感应出一个电压，该电压在带点端子上具有**负极性**。

耦合的分类

我们可以将**耦合**分为以下两类。

• 电耦合
• 磁耦合

现在，让我们逐一讨论每种类型的耦合。

电耦合

当两个线圈（或电感器）之间存在**物理连接**时，就会发生电耦合。这种耦合可以是互助型或对立型。它取决于电流是进入带点端子还是从带点端子离开。

互助型耦合

考虑以下电气电路，该电路有两个串联连接的电感器。

由于这两个电感器是串联连接的，因此**相同的电流I**流过两个自感分别为L₁和L₂的电感器。

在这种情况下，电流I进入每个电感器的带点端子。因此，由于另一个线圈中的电流，每个电感器中的感应电压在其带点端子上将具有**正极性**。

在上述电气电路或网络的回路周围应用**KVL**。

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} + 2M \frac{dI}{dt}$$

$$V = (L_1 + L_2 + 2M)\frac{dI}{dt}$$

上式为$\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$的形式

因此，上图所示的电感器串联组合的**等效电感**为

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + 2M$$

在这种情况下，等效电感增加了2M。因此，上述电路是**电**耦合的一个例子，它是**互助**型的。

对立型耦合

考虑以下电气电路，该电路有两个串联连接的电感器。

在上图电路中，电流I进入自感为L₁的电感的带点端子。因此，它在另一个自感为L₂的电感中感应出一个电压。因此，该电感器带点端子上存在感应电压的**正极性**。

在上图电路中，电流I从自感为L₂的电感的带点端子离开。因此，它在另一个自感为L₁的电感中感应出一个电压。因此，该电感器带点端子上存在感应电压的**负极性**。

在上述电气电路或网络的回路周围应用**KVL**。

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$\Rightarrow V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} - 2M \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow V = (L_1 + L_2 - 2M)\frac{dI}{dt}$$

上式为$\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$的形式

因此，上图所示的电感器串联组合的**等效电感**为

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 - 2M$$

在这种情况下，等效电感减少了2M。因此，上述电路是**电**耦合的一个例子，它是**对立**型的。

磁耦合

当两个线圈（或电感器）之间**没有物理连接**时，就会发生磁耦合。这种耦合可以是互助型或对立型。它取决于电流是进入带点端子还是从带点端子离开。

互助型耦合

考虑以下变压器的电等效**电路**。它有两个线圈，分别称为初级线圈和次级线圈。

流过初级和次级线圈的电流分别为i₁和i₂。在这种情况下，这些电流**进入**各自线圈的带点端子。因此，由于另一个线圈中的电流，每个线圈中的感应电压在其带点端子上将具有正极性。

在初级线圈周围应用**KVL**。

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt}$方程1

在次级线圈周围应用**KVL**。

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt}$方程2

在方程1和方程2中，自感电压和互感电压具有相同的极性。因此，上述变压器电路是**磁耦合**的一个例子，它是**互助**型的。

对立型耦合

考虑以下变压器的电等效**电路**。

流过初级和次级线圈的电流分别为i₁和i₂。在这种情况下，电流i₁进入初级线圈的带点端子。因此，它在次级线圈中感应出一个电压。因此，该次级线圈带点端子上存在感应电压的**正极性**。

在上图电路中，电流i₂从次级线圈的带点端子离开。因此，它在初级线圈中感应出一个电压。因此，该初级线圈带点端子上存在感应电压的**负极性**。

在初级线圈周围应用**KVL**。

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt}$方程3

在次级线圈周围应用**KVL**。

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt}$方程4

在方程3和方程4中，自感电压和互感电压具有相反的极性。因此，上述变压器电路是**磁耦合**的一个例子，它是**对立**型的。

网络理论 - 二端口网络

通常，如果用一个等效模型表示任何电网络，则很容易分析该网络，该模型给出了输入和输出变量之间的关系。为此，我们可以使用**二端口网络**表示。顾名思义，二端口网络包含两个端口。其中一个端口用作输入端口，另一个端口用作输出端口。第一个和第二个端口分别称为端口1和端口2。

**单端口网络**是一个二端电网络，其中电流通过一个端子进入，通过另一个端子离开。电阻、电感和电容是单端口网络的例子，因为每个都具有两个端子。单端口网络表示如下图所示。

这里，端子对1 & 1’表示一个端口。在这种情况下，我们只有一个端口，因为它是一个单端口网络。

类似地，**二端口网络**是一对二端电网络，其中电流通过一个端子进入，通过每个端口的另一个端子离开。二端口网络表示如下图所示。

这里，一组端子1 & 1’表示一个端口，称为**端口1**，另一组端子2 & 2’表示另一个端口，称为**端口2**。

二端口网络中有**四个变量**V₁、V₂、I₁和I₂，如图所示。其中，我们可以选择两个变量作为自变量，另外两个变量作为因变量。因此，我们将得到六种可能的方程对。这些方程用自变量表示因变量。自变量的系数称为**参数**。因此，每对方程将给出四组参数。

二端口网络参数

二端口网络的参数称为**二端口网络参数**，或简称为二端口参数。以下是二端口网络参数的类型。

• Z参数
• Y参数
• T参数
• T'参数
• h参数
• g参数

现在，让我们逐一讨论这些二端口网络参数。

Z参数

通过将变量V₁ & V₂视为因变量，将I₁ & I₂视为自变量，我们将得到以下两对方程。自变量I₁和I₂的系数称为**Z参数**。

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Z 参数为

$$Z_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: 当 \: I_2 = 0时$$

$$Z_{12} = \frac{V_1}{I_2}, \: 当 \: I_1 = 0时$$

$$Z_{21} = \frac{V_2}{I_1}, \: 当 \: I_2 = 0时$$

$$Z_{22} = \frac{V_2}{I_2}, \: 当 \: I_1 = 0时$$

Z 参数被称为阻抗参数，因为它们只是电压和电流的比值。Z 参数的单位为欧姆 (Ω)。

我们可以通过开路端口 2 来计算两个 Z 参数，Z₁₁ 和 Z₂₁。类似地，我们可以通过开路端口 1 来计算另外两个 Z 参数，Z₁₂ 和 Z₂₂。因此，Z 参数也被称为开路阻抗参数。

Y参数

如果将变量 I₁ 和 I₂ 视为因变量，V₁ 和 V₂ 视为自变量，我们将得到以下两组方程。自变量 V₁ 和 V₂ 的系数称为Y 参数。

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Y 参数为

$$Y_{11} = \frac{I_1}{V_1}, \: 当 \: V_2 = 0时$$

$$Y_{12} = \frac{I_1}{V_2}, \: 当 \: V_1 = 0时$$

$$Y_{21} = \frac{I_2}{V_1}, \: 当 \: V_2 = 0时$$

$$Y_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: 当 \: V_1 = 0时$$

Y 参数被称为导纳参数，因为它们只是电流和电压的比值。Y 参数的单位为姆欧。

我们可以通过短路端口 2 来计算两个 Y 参数，Y₁₁ 和 Y₂₁。类似地，我们可以通过短路端口 1 来计算另外两个 Y 参数，Y₁₂ 和 Y₂₂。因此，Y 参数也被称为短路导纳参数。

T参数

如果将变量 V₁ 和 I₁ 视为因变量，V₂ 和 I₂ 视为自变量，我们将得到以下两组方程。V₂ 和 -I₂ 的系数称为T 参数。

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

T 参数为

$$A = \frac{V_1}{V_2}, \: 当 \: I_2 = 0时$$

$$B = -\frac{V_1}{I_2}, \: 当 \: V_2 = 0时$$

$$C = \frac{I_1}{V_2}, \: 当 \: I_2 = 0时$$

$$D = -\frac{I_1}{I_2}, \: 当 \: V_2 = 0时$$

T 参数被称为传输参数或ABCD 参数。参数 A 和 D 没有单位，因为它们是无量纲的。参数 B 和 C 的单位分别为欧姆和姆欧。

我们可以通过开路端口 2 来计算两个参数 A 和 C。类似地，我们可以通过短路端口 2 来计算另外两个参数 B 和 D。

T’ 参数

如果将变量 V₂ 和 I₂ 视为因变量，V₁ 和 I₁ 视为自变量，我们将得到以下两组方程。V₁ 和 -I₁ 的系数称为T’ 参数。

$$V_2 = A' V_1 - B' I_1$$

$$I_2 = C' V_1 - D' I_1$$

T’ 参数为

$$A' = \frac{V_2}{V_1}, \: 当\: I_1 = 0时$$

$$B' = -\frac{V_2}{I_1}, \: 当\: V_1 = 0时$$

$$C' = \frac{I_2}{V_1}, \: 当\: I_1 = 0时$$

$$D' = -\frac{I_2}{I_1}, \: 当 \: V_1 = 0时$$

T’ 参数被称为逆传输参数或A’B’C’D’ 参数。参数 A’ 和 D’ 没有单位，因为它们是无量纲的。参数 B’ 和 C’ 的单位分别为欧姆和姆欧。

我们可以通过开路端口 1 来计算两个参数 A’ 和 C’。类似地，我们可以通过短路端口 1 来计算另外两个参数 B’ 和 D’。

h参数

如果将变量 V₁ 和 I₂ 视为因变量，I₁ 和 V₂ 视为自变量，我们将得到以下两组方程。自变量 I₁ 和 V₂ 的系数称为h 参数。

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

h 参数为

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1},\: 当\: V_2 = 0时$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2},\: 当\: I_1 = 0时$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1},\: 当\: V_2 = 0时$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2},\: 当\: I_1 = 0时$$

h 参数被称为混合参数。参数 h₁₂ 和 h₂₁ 没有单位，因为它们是无量纲的。参数 h₁₁ 和 h₂₂ 的单位分别为欧姆和姆欧。

我们可以通过短路端口 2 来计算两个参数 h₁₁ 和 h₂₁。类似地，我们可以通过开路端口 1 来计算另外两个参数 h₁₂ 和 h₂₂。

h 参数或混合参数在晶体管建模电路（网络）中很有用。

g参数

如果将变量 I₁ 和 V₂ 视为因变量，V₁ 和 I₂ 视为自变量，我们将得到以下两组方程。自变量 V₁ 和 I₂ 的系数称为g 参数。

$$I_1 = g_{11} V_1 + g_{12} I_2$$

$$V_2 = g_{21} V_1 + g_{22} I_2$$

g 参数为

$$g_{11} = \frac{I_1}{V_1},\: 当\: I_2 = 0时$$

$$g_{12} = \frac{I_1}{I_2},\: 当\: V_1 = 0时$$

$$g_{21} = \frac{V_2}{V_1},\: 当\: I_2 = 0时$$

$$g_{22} = \frac{V_2}{I_2},\: 当 \: V_1 = 0时$$

g 参数被称为逆混合参数。参数 g₁₂ 和 g₂₁ 没有单位，因为它们是无量纲的。参数 g₁₁ 和 g₂₂ 的单位分别为姆欧和欧姆。

我们可以通过开路端口 2 来计算两个参数 g₁₁ 和 g₂₁。类似地，我们可以通过短路端口 1 来计算另外两个参数 g₁₂ 和 g₂₂。

二端口参数转换

在上一章中，我们讨论了六种类型的二端口网络参数。现在，让我们将一组二端口网络参数转换为另一组二端口网络参数。这种转换被称为二端口网络参数转换，或简称为二端口参数转换。

有时，很容易找到给定电网络的一组参数。在这些情况下，我们可以将这些参数转换为所需的参数集，而不是更困难地直接计算这些参数。

现在，让我们讨论一些二端口参数转换。

二端口参数转换的过程

在将一组二端口网络参数转换为另一组二端口网络参数时，请遵循以下步骤。

• 步骤 1 - 以所需参数的形式写出二端口网络的方程。

• 步骤 2 - 以给定参数的形式写出二端口网络的方程。

• 步骤 3 - 以与步骤 1 的方程类似的方式重新排列步骤 2 的方程。

• 步骤 4 - 通过比较步骤 1 和步骤 3 中的类似方程，我们将得到以给定参数表示的所需参数。我们可以用矩阵形式表示这些参数。

Z 参数到 Y 参数

在这里，我们必须用 Z 参数表示 Y 参数。因此，在这种情况下，Y 参数是所需参数，Z 参数是给定参数。

步骤 1 - 我们知道以下两组方程，它们用Y 参数表示二端口网络。

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

我们可以用矩阵形式表示上述两个方程为

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$方程 1

步骤 2 - 我们知道以下两组方程，它们用Z 参数表示二端口网络。

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

我们可以用矩阵形式表示上述两个方程为

$$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$$

步骤 3 - 我们可以将其修改为

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$方程 2

步骤 4 - 通过比较方程 1 和方程 2，我们将得到

$$\begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} $$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Z_{22} & -Z_{12} \\-Z_{21} & Z_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Z}$$

其中，

$$\Delta Z = Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}$$

因此，只需对Z 参数矩阵求逆，我们就可以得到 Y 参数矩阵。

Z 参数到 T 参数

在这里，我们必须用 Z 参数表示 T 参数。因此，在这种情况下，T 参数是所需参数，Z 参数是给定参数。

步骤 1 - 我们知道以下两组方程，它们用T 参数表示二端口网络。

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

步骤 2 - 我们知道以下两组方程，它们用Z 参数表示二端口网络。

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

步骤 3 - 我们可以将上述方程修改为

$$\Rightarrow V_2 - Z_{22} I_2 = Z_{21} I_1$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac{1}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

步骤 4 - 上述方程的形式为 $I_1 = CV_2 − DI_2$。这里，

$$C = \frac{1}{Z_{21}}$$

$$D = \frac{Z_{22}}{Z_{21}}$$

步骤 5 - 将步骤 3 中的 $I_1$ 值代入步骤 2 中的 $V_1$ 方程。

$$V_1 = Z_{11} \lbrace \lgroup \frac {1}{Z_{12}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac {Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Z_{12} I_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac {Z_{11}}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

步骤 6 - 上述方程的形式为 $V_1 = AV_2 − BI_2$。这里，

$$A = \frac{Z_{11}}{Z_{21}}$$

$$B = \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}}$$

步骤 7 - 因此，T 参数矩阵为

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{Z_{11}}{Z_{21}} & \frac{Z_{11}Z_{22} - Z_{12}Z_{21}}{Z_{21}} \\\frac{1}{Z_{21}} & \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \end{bmatrix}$$

Y 参数到 Z 参数

在这里，我们必须用 Y 参数表示 Z 参数。因此，在这种情况下，Z 参数是所需参数，Y 参数是给定参数。

步骤 1 - 我们知道以下二端口网络的矩阵方程，将 Z 参数作为

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$方程 3

步骤 2 - 我们知道以下二端口网络的矩阵方程，将 Y 参数作为

$$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$$

步骤 3 - 我们可以将其修改为

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$公式 4

步骤 4 − 通过将公式 3 和公式 4 等价，我们将得到

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1}$$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Y_{22} & - Y_{12} \\- Y_{21} & Y_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Y}$$

其中，

$$\Delta Y = Y_{11} Y_{22} - Y_{12} Y_{21}$$

所以，只需对Y 参数矩阵求逆，我们就可以得到 Z 参数矩阵。

Y 参数到 T 参数

这里，我们必须用 Y 参数表示 T 参数。因此，在这种情况下，T 参数是目标参数，Y 参数是给定参数。

步骤 1 - 我们知道以下两组方程，它们用T 参数表示二端口网络。

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

步骤 2 − 我们知道以下关于 Y 参数的二端口网络的两组方程。

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

步骤 3 - 我们可以将上述方程修改为

$$\Rightarrow I_2 - Y_{22} V_2 = Y_{21} V_1$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2$$

步骤 4 − 上述方程的形式为 $V_1 = AV_2 − BI_2$。这里，

$$A = \frac{- Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$B = \frac{-1}{Y_{21}}$$

步骤 5 − 将步骤 3 中的 $V_1$ 值代入步骤 2 中的 $I_1$ 方程。

$$I_1 = Y_{11} \lbrace \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Y_{12} V_2$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{- Y_{11}} {Y_{21}} \rgroup I_2$$

步骤 6 − 上述方程的形式为 $I_1 = CV_2 − DI_2$。这里，

$$C = \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$D = \frac{- Y_{11}} {Y_{21}}$$

步骤 7 - 因此，T 参数矩阵为

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{-Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-1}{Y_{21}} \\\frac{Y_{12}Y_{21} - Y_{11}Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-Y_{11}}{Y_{21}} \end{bmatrix}$$

T 参数到 h 参数

这里，我们必须用 T 参数表示 h 参数。因此，在这种情况下，h 参数是目标参数，T 参数是给定参数。

步骤 1 − 我们知道，以下为二端口网络的h 参数。

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: 当 \: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2}, \: 当 \: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1}, \: 当 \: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: 当 \: I_1 = 0$$

步骤 2 − 我们知道以下关于T 参数的二端口网络的两组方程。

$V_1 = A V_2 - B I_2$公式 5

$I_1 = C V_2 - D I_2$公式 6

步骤 3 − 将 $V_2 = 0$ 代入上述方程以找到两个 h 参数，$h_{11}$ 和 $h_{21}$。

$$\Rightarrow V_1 = -B I_2$$

$$\Rightarrow I_1 = -D I_2$$

将 $V_1$ 和 $I_1$ 值代入 h 参数 $h_{11}$。

$$h_{11} = \frac{-B I_2}{-D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{11} = \frac{B}{D}$$

将 $I_1$ 值代入 h 参数 $h_{21}$。

$$h_{21} = \frac{I_2}{- D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{21} = - \frac{1}{D}$$

步骤 4 − 将 $I_1 = 0$ 代入步骤 2 的第二个方程以找到 h 参数 $h_{22}$。

$$0 = C V_2 - D I_2$$

$$\Rightarrow C V_2 = D I_2$$

$$\Rightarrow \frac{I_2}{V_2} = \frac{C}{D}$$

$$\Rightarrow h_{22} = \frac{C}{D}$$

步骤 5 − 将 $I_2 = \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$ 代入步骤 2 的第一个方程以找到 h 参数 $h_{12}$。

$$V_1 = A V_2 - B \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{AD - BC}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = \frac{AD - BC}{D}$$

$$\Rightarrow h_{12} = \frac{AD - BC}{D}$$

步骤 6 − 因此，h 参数矩阵为

$$\begin{bmatrix}h_{11} & h_{12} \\h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{B}{D} & \frac{AD - BC}{D} \\-\frac{1}{D} & \frac{C}{D} \end{bmatrix}$$

h 参数到 Z 参数

这里，我们必须用 h 参数表示 Z 参数。因此，在这种情况下，Z 参数是目标参数，h 参数是给定参数。

步骤 1 − 我们知道，以下为关于Z 参数的二端口网络的两组方程。

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

步骤 2 − 我们知道，以下为关于h 参数的二端口网络的两组方程。

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

步骤 3 - 我们可以将上述方程修改为

$$\Rightarrow I_2 - h_{21} I_1 = h_{22} V_2$$

$$\Rightarrow V_2 = \frac{I_2 - h_{21} I_1}{h_{22}}$$

$$\Rightarrow V_2 = \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2$$

上述方程的形式为 $V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$。这里，

$$Z_{21} = \frac{-h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{22} = \frac{1}{h_{22}}$$

步骤 4 − 将 V₂ 值代入步骤 2 的第一个方程。

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{21} \lbrace \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2 \rbrace$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{h_{12}}{h_{22}} \rgroup I_2$$

上述方程的形式为 $V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2$。这里，

$$Z_{11} = \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{12} = \frac{h_{12}}{h_{22}}$$

步骤 5 − 因此，Z 参数矩阵为

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} & \frac{h_{12}}{h_{22}} \\\frac{-h_{21}}{h_{22}} & \frac{1}{h_{22}} \end{bmatrix}$$

通过这种方式，我们可以将一组参数转换为另一组参数。

网络理论 - 滤波器

顾名思义，滤波器可以滤除频率成分。这意味着，它们允许某些频率成分和/或抑制其他一些频率成分。

在本章中，让我们讨论一下无源滤波器。它们是具有无源元件（如电阻、电感和电容）的电路或网络。

滤波器的类型

滤波器主要根据允许和/或抑制的频率带分为四种类型。以下是滤波器的类型。

• 低通滤波器
• 高通滤波器
• 带通滤波器
• 带阻滤波器

低通滤波器

顾名思义，低通滤波器只允许低频成分通过。这意味着，它抑制（阻挡）所有其他高频成分。

低通滤波器的 s 域电路图（网络）如下图所示。

它由两个无源元件电阻和电容组成，它们串联连接。输入电压施加到整个组合上，输出被认为是电容两端的电压。

这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。

上述网络的传递函数为

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{1 + sCR}$$

将 $s = j \omega$ 代入上述方程。

$$H(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega CR}$$

传递函数的幅值为

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• 在 ω = 0 时，传递函数的幅值为 1。

• 在 $\omega = \frac{1}{CR}$ 时，传递函数的幅值为 0.707。

• 在 ω = ∞ 时，传递函数的幅值为 0。

因此，低通滤波器的传递函数幅值将随着 ω 从 0 变到 ∞ 而从 1 变到 0。

高通滤波器

顾名思义，高通滤波器只允许高频成分通过。这意味着，它抑制（阻挡）所有低频成分。

高通滤波器的 s 域电路图（网络）如下图所示。

它由两个无源元件电容和电阻组成，它们串联连接。输入电压施加到整个组合上，输出被认为是电阻两端的电压。

这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。

上述网络的传递函数为

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{sCR}{1 + sCR}$$

将 $s = j \omega$ 代入上述方程。

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 + j \omega CR}$$

传递函数的幅值为

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• 在 ω = 0 时，传递函数的幅值为 0。

• 在 $\omega = \frac{1}{CR}$ 时，传递函数的幅值为 0.707。

• 在 ω = ∞ 时，传递函数的幅值为 1。

因此，高通滤波器的传递函数幅值将随着 ω 从 0 变到 ∞ 而从 0 变到 1。

带通滤波器

顾名思义，带通滤波器只允许一个频带通过。通常，此频率带位于低频范围和高频范围之间。这意味着，此滤波器抑制（阻挡）低频和高频成分。

带通滤波器的 s 域电路图（网络）如下图所示。

它由三个无源元件电感、电容和电阻组成，它们串联连接。输入电压施加到整个组合上，输出被认为是电阻两端的电压。

这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。

上述网络的传递函数为

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC} + sL}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s CR}{s^2 LC + sCR + 1}$$

在上述等式中代入 $s = j \omega$。

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

传递函数的幅值为

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• 在 ω = 0 时，传递函数的幅值为 0。

• 在 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 时，传递函数的幅值为 1。

• 在 ω = ∞ 时，传递函数的幅值为 0。

因此，带通滤波器的传递函数幅值将随着 ω 从 0 变到 ∞ 而从 0 变到 1 和 1 变到 0。

带阻滤波器

顾名思义，带阻滤波器只抑制（阻挡）一个频带。通常，此频率带位于低频范围和高频范围之间。这意味着，此滤波器允许（通过）低频和高频成分。

电路图和带阻滤波器的 s 域（网络）如下图所示。

它由三个无源元件电阻、电感和电容组成，它们串联连接。输入电压施加到整个组合上，输出被认为是电感和电容组合两端的电压。

这里，$V_i(s)$ 和 $V_o(s)$ 分别是输入电压 $v_i(t)$ 和输出电压 $v_o(t)$ 的拉普拉斯变换。

上述网络的传递函数为

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s^2 LC + 1}{s^2 LC + sCR + 1}$$

将 $s = j \omega$ 代入上述方程。

$$H(j \omega) = \frac{1 - \omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

传递函数的幅值为

$$|H(j \omega)| = \frac{1 - \omega^2 LC}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• 在 ω = 0 时，传递函数的幅值为 1。

• 在 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 时，传递函数的幅值为 0。

• 在 ω = ∞ 时，传递函数的幅值为 1。

因此，带阻滤波器的传递函数幅值将随着 ω 从 0 变到 ∞ 而从 1 变到 0 和 0 变到 1。