网络理论 - 网孔分析

---

---

在网孔分析中，我们将考虑流过每个网孔的电流。因此，网孔分析也称为网孔电流法。

支路是连接两个节点的路径，它包含一个电路元件。如果一个支路只属于一个网孔，则支路电流将等于网孔电流。

如果一个支路为两个网孔共有，则当它们方向相同时(或相反时)，支路电流将等于两个网孔电流之和(或差)。

网孔分析步骤

使用网孔分析法求解任何电网络或电路时，请遵循以下步骤。

• 步骤1 - 确定网孔并标记网孔电流为顺时针或逆时针方向。

• 步骤2 - 观察以网孔电流表示流过每个元件的电流大小。

• 步骤3 - 为所有网孔编写网孔方程。网孔方程是首先应用KVL，然后应用欧姆定律得到的。

• 步骤4 - 求解步骤3中获得的网孔方程，以获得网孔电流。

现在，我们可以使用网孔电流找到流过任何元件的电流和任何给定网络中任何元件两端的电压。

示例

使用网孔分析法求30 Ω电阻两端的电压。

步骤1 - 上述电路中有两个网孔。网孔电流I₁和I₂被认为是顺时针方向的。这些网孔电流如下图所示。

步骤2 - 网孔电流I₁流过20 V电压源和5 Ω电阻。同样，网孔电流I₂流过30 Ω电阻和-80 V电压源。但是，两个网孔电流I₁和I₂的差值流过10 Ω电阻，因为它是由两个网孔共有的支路。

步骤3 - 在这种情况下，由于给定电路中有两个网孔，我们将得到两个网孔方程。当我们写网孔方程时，假设该特定网孔的网孔电流大于电路中所有其他网孔电流。

第一个网孔的网孔方程为

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\Rightarrow 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\Rightarrow 10I_2 = 15I_1 - 20$$

将上述方程除以5。

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

将上述方程乘以2。

$4I_2 = 6I_1 - 8$ 方程1

第二个网孔的网孔方程为

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

将上述方程除以10。

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\Rightarrow -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ 方程2

步骤4 - 通过求解方程1和方程2来求解网孔电流I₁和I₂。

方程1和方程2的左边项相同。因此，为了找到I₁的值，将方程1和方程2的右边项相等。

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\Rightarrow 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

将I₁的值代入方程2。

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

因此，我们得到了网孔电流I₁和I₂分别为$\mathbf{\frac{16}{5}}$ A和$\mathbf{\frac{14}{5}}$ A。

步骤5 - 流过30 Ω电阻的电流就是网孔电流I₂，等于$\frac{14}{5}$ A。现在，我们可以使用欧姆定律求解30 Ω电阻两端的电压。

$$V_{30 \Omega} = I_2 R$$

将I₂和R的值代入上述方程。

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\Rightarrow V_{30 \Omega} = 84V$$

因此，给定电路中30 Ω电阻两端的电压为84 V。

注1 - 从上面的例子中，我们可以得出结论，如果电路具有“m”个网孔，则我们必须求解“m”个网孔方程。这就是为什么当网孔数量少于任何电路的主节点数（参考节点除外）时，我们可以选择网孔分析法。

注2 - 当网孔数量等于任何电路的主节点数（参考节点除外）时，我们可以选择节点分析法或网孔分析法。