网络理论 - 并联谐振

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在上一章中，我们讨论了串联谐振的重要性。现在，让我们讨论RLC电路中的并联谐振。

并联谐振电路图

如果谐振发生在并联RLC电路中，则称为并联谐振。考虑以下并联RLC电路，它用相量表示。

这里，电阻、电感和电容等无源元件并联连接。整个组合与输入正弦电流源并联。

在P节点处写出节点方程。

$$- I + I_R + I_L + I_C = 0$$

$$\Rightarrow - I + \frac{V}{R} + \frac{V}{j X_L} + \frac{V}{-j X_C} = 0$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R} - \frac{jV}{X_L} + \frac{jV}{X_C}$$

$\Rightarrow I = V[\frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup]$公式 1

上述方程的形式为I = VY。

因此，并联RLC电路的导纳Y为

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

谐振时的参数和电路量

现在，让我们逐一推导并联RLC电路谐振时参数和电路量的值。

谐振频率

我们知道，谐振频率f_r是发生谐振的频率。在并联RLC电路中，当导纳Y的虚部为零时发生谐振。即，$\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}$的值应等于零

$$\Rightarrow \frac{1}{X_C} = \frac{1}{X_L}$$

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

上述谐振条件与串联RLC电路相同。因此，谐振频率f_r在串联RLC电路和并联RLC电路中都相同。

因此，并联RLC电路的谐振频率f_r为

$$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

其中：

• L是电感的电感量。
• C是电容的电容。

并联RLC电路的谐振频率f_r仅取决于电感L和电容C。但它与电阻R无关。

导纳

我们得到并联RLC电路的导纳Y为

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

将$X_L = X_C$代入上式。

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_C} \rgroup$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R} + j(0)$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R}$$

在谐振时，并联RLC电路的导纳Y等于电阻R的倒数，即$\mathbf{\mathit{Y = \frac{1}{R}}}$

每个元件上的电压

将$\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} = 0$代入公式1

$$I = V [\frac{1}{R} + j(0)]$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

$$\Rightarrow V = IR$$

因此，在谐振时，并联RLC电路所有元件上的电压为V = IR。

在谐振时，并联RLC电路的导纳达到最小值。因此，在谐振时，该电路每个元件上都有最大电压。

流过电阻的电流

流过电阻的电流为

$$I_R = \frac{V}{R}$$

将V的值代入上式。

$$I_R = \frac{IR}{R}$$

$$\Rightarrow I_R = I$$

因此，谐振时流过电阻的电流为$\mathbf{\mathit{I_R = I}}$。

流过电感的电流

流过电感的电流为

$$I_L = \frac{V}{j X_L}$$

将V的值代入上式。

$$I_L = \frac{IR}{j X_L}$$

$$\Rightarrow I_L = -j \lgroup \frac{R}{X_L} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_L = -jQI$$

因此，谐振时流过电感的电流为$I_L = -jQI$。

因此，谐振时流过电感的电流的大小为

$$|I_L| = QI$$

其中，Q是品质因数，其值为$\frac{R}{X_L}$

流过电容的电流

流过电容的电流为

$$I_C = \frac{V}{-j X_C}$$

将V的值代入上式。

$$I_C = \frac{IR}{-j X_C}$$

$$\Rightarrow I_C = j \lgroup \frac{R}{X_C} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_C = jQI$$

因此，谐振时流过电容的电流为$I_C = jQI$

因此，谐振时流过电容的电流的大小为

$$|I_C| = QI$$

其中，Q是品质因数，其值为$\frac{R}{X_C}$

注意 - 并联谐振RLC电路称为电流放大电路。因为流过电感和电容的电流大小等于输入正弦电流I的Q倍。