网络理论 - 直流电路的响应

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如果电回路的输出对于输入随时间变化，则称为时间响应。时间响应包含以下两个部分。

• 暂态响应
• 稳态响应

在本章中，首先让我们讨论这两个响应，然后观察串联RL电路在直流电压源激励下的这两个响应。

暂态响应

对电回路施加输入后，输出需要一定时间才能达到稳态。因此，输出将处于暂态状态，直到它进入稳态。因此，电回路在暂态状态下的响应称为暂态响应。

对于较大的“t”值，暂态响应将为零。理想情况下，此“t”值应为无穷大。但是，实际上五个时间常数就足够了。

暂态的存在与否

由于施加到电回路的电源的突然变化和/或由于开关动作，响应中会出现暂态。存在两种可能的开关动作。分别是打开开关和闭合开关。

• 如果电回路或网络仅包含电阻，则电回路或网络的响应中不会出现暂态部分。因为电阻能够调节任意数量的电压和电流。

• 由于存在储能元件，如电感和电容，因此电回路或网络的响应中会出现暂态部分。因为它们不能立即改变储存在这些元件中的能量。

电感器的行为

假设开关动作发生在t = 0 时。当开关动作发生时，电感电流不会瞬时变化。这意味着，开关动作后的电感电流值将与开关动作前的值相同。

数学上，它可以表示为

$$i_L (0^+) = i_L (0^-)$$

电容器的行为

当开关动作发生时，电容电压不会像电感电流那样瞬时变化。这意味着，开关动作后的电容电压值将与开关动作前的值相同。

数学上，它可以表示为

$$v_c (0^+) = v_c (0^-)$$

稳态响应

即使在暂态响应对于较大的“t”值变为零后仍然存在的时域响应部分称为稳态响应。这意味着，在稳态期间响应中将没有任何暂态部分。

电感器的行为

如果独立电源连接到具有一个或多个电感和电阻（可选）的电回路或网络很长时间，则该电回路或网络被称为处于稳态。因此，该电回路中电感器的储能达到最大且恒定。

数学上，它可以表示为

$W_L = \frac{L {i_L}^2}{2} = $ 最大且恒定

$\Rightarrow i_L = $ 最大且恒定

因此，电感在稳态下充当恒流源。

电感两端的电压将为

$$V_L = L \frac{di_{L}}{dt} = 0V$$

因此，电感在稳态下充当短路。

电容器的行为

如果独立电源连接到具有一个或多个电容和电阻（可选）的电回路或网络很长时间，则该电回路或网络被称为处于稳态。因此，该电回路中电容器的储能达到最大且恒定。

数学上，它可以表示为

$W_c = \frac{C{v_c}^2}{2} = $ 最大且恒定

$\Rightarrow v_c = $最大且恒定

因此，电容在稳态下充当恒压源。

流过电容的电流将为

$$i_c = C\frac{dv_c}{dt} = 0A$$

因此，电容在稳态下充当开路。

求解串联RL电路的响应

考虑以下串联RL电路图。

在上述电路中，开关一直保持打开状态，直到 t = 0，并在 t = 0 时闭合。因此，电压为 V伏特的直流电压源在此之前未连接到串联RL电路。因此，没有初始电流流过电感。

开关处于闭合位置时的电路图如下所示。

现在，由于电压为V伏特的直流电压源已连接到串联RL电路，因此电流i流经整个电路。

现在，对回路应用KVL。

$$V = Ri + L \frac{di}{dt}$$

$\frac{di}{dt} + \lgroup \frac{R}{L} \rgroup i = \frac{V}{L}$公式 1

上述公式是一阶微分公式，其形式为

$\frac{dy}{dt} + Py = Q$公式 2

通过比较公式 1 和公式 2，我们将得到以下关系。

$$x = t$$

$$y = i$$

$$P = \frac{R}{L}$$

$$Q = \frac{V}{L}$$

公式 2 的解将为

$ye^{\int p dx} = \int Q e^{\int p dx} dx + k$公式 3

其中，k 为常数。

将 x、y、P 和 Q 的值代入公式 3。

$ie^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} = \int (\frac{V}{L}) \lgroup e^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} \rgroup dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \int e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \lbrace \frac{e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t}{\frac{R}{L}} \rbrace + k$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} + k e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t$公式 4

我们知道电路中没有初始电流。因此，为了找到常数k的值，请在公式 4 中代入t = 0 和𝑖 = 0。

$$0 = \frac{V}{R} + ke^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup(0)}$$

$$0 = \frac{V}{R} + k(1)$$

$$k = - \frac{V}{R}$$

将 k 的值代入公式 4。

$$i = \frac{V}{R} + \lgroup - \frac{V}{R} \rgroup e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

$$i = \frac{V}{R} - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

因此，流过电路的电流为

$i = - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} + \frac{V}{R}$公式 5

因此，当串联RL电路由直流电压源激励时，其响应具有以下两项。

• 第一项$-\frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$对应于暂态响应。

• 第二项$\frac{V}{R}$对应于稳态响应。这两项响应如下图所示。

我们可以如下重新编写公式 5 −

$i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} \rgroup$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} \rgroup$公式 6

其中，τ 为时间常数，其值等于$\frac{L}{R}$。

公式 5 和公式 6 是相同的。但是，通过在公式 6 中代入一些t的值（如 0、τ、2τ、5τ 等），我们可以轻松理解上述流过电路的电流波形。

在上述流过电路的电流波形中，暂态响应从零开始存在，直到五个时间常数，而稳态响应从五个时间常数开始存在。