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网络理论 - 直流电路的响应



如果电回路的输出对于输入随时间变化,则称为时间响应。时间响应包含以下两个部分。

  • 暂态响应
  • 稳态响应

在本章中,首先让我们讨论这两个响应,然后观察串联RL电路在直流电压源激励下的这两个响应。

暂态响应

对电回路施加输入后,输出需要一定时间才能达到稳态。因此,输出将处于暂态状态,直到它进入稳态。因此,电回路在暂态状态下的响应称为暂态响应

对于较大的“t”值,暂态响应将为零。理想情况下,此“t”值应为无穷大。但是,实际上五个时间常数就足够了。

暂态的存在与否

由于施加到电回路的电源的突然变化和/或由于开关动作,响应中会出现暂态。存在两种可能的开关动作。分别是打开开关和闭合开关。

  • 如果电回路或网络仅包含电阻,则电回路或网络的响应中不会出现暂态部分。因为电阻能够调节任意数量的电压和电流。

  • 由于存在储能元件,如电感和电容,因此电回路或网络的响应中会出现暂态部分。因为它们不能立即改变储存在这些元件中的能量。

电感器的行为

假设开关动作发生在t = 0 时。当开关动作发生时,电感电流不会瞬时变化。这意味着,开关动作后的电感电流值将与开关动作前的值相同。

数学上,它可以表示为

iL(0+)=iL(0)

电容器的行为

当开关动作发生时,电容电压不会像电感电流那样瞬时变化。这意味着,开关动作后的电容电压值将与开关动作前的值相同。

数学上,它可以表示为

vc(0+)=vc(0)

稳态响应

即使在暂态响应对于较大的“t”值变为零后仍然存在的时域响应部分称为稳态响应。这意味着,在稳态期间响应中将没有任何暂态部分。

电感器的行为

如果独立电源连接到具有一个或多个电感和电阻(可选)的电回路或网络很长时间,则该电回路或网络被称为处于稳态。因此,该电回路中电感器的储能达到最大且恒定。

数学上,它可以表示为

WL=LiL22= 最大且恒定

iL= 最大且恒定

因此,电感在稳态下充当恒流源

电感两端的电压将为

VL=LdiLdt=0V

因此,电感在稳态下充当短路

电容器的行为

如果独立电源连接到具有一个或多个电容和电阻(可选)的电回路或网络很长时间,则该电回路或网络被称为处于稳态。因此,该电回路中电容器的储能达到最大且恒定。

数学上,它可以表示为

Wc=Cvc22= 最大且恒定

vc=最大且恒定

因此,电容在稳态下充当恒压源

流过电容的电流将为

ic=Cdvcdt=0A

因此,电容在稳态下充当开路

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求解串联RL电路的响应

考虑以下串联RL电路图。

Series RL Circuit

在上述电路中,开关一直保持打开状态,直到 t = 0,并在 t = 0 时闭合。因此,电压为 V伏特的直流电压源在此之前未连接到串联RL电路。因此,没有初始电流流过电感。

开关处于闭合位置时的电路图如下所示。

Switch Closed

现在,由于电压为V伏特的直流电压源已连接到串联RL电路,因此电流i流经整个电路。

现在,对回路应用KVL

V=Ri+Ldidt

didt+RLi=VL公式 1

上述公式是一阶微分公式,其形式为

dydt+Py=Q公式 2

通过比较公式 1 和公式 2,我们将得到以下关系。

x=t

y=i

P=RL

Q=VL

公式 2 的将为

yepdx=Qepdxdx+k公式 3

其中,k 为常数。

将 x、y、P 和 Q 的值代入公式 3。

ieRLdt=(VL)eRLdtdt+k

ieRLt=VLeRLtdt+k

ieRLt=VL{eRLtRL}+k

i=VR+keRLt公式 4

我们知道电路中没有初始电流。因此,为了找到常数k的值,请在公式 4 中代入t = 0 和𝑖 = 0。

0=VR+keRL(0)

0=VR+k(1)

k=VR

将 k 的值代入公式 4。

i=VR+VReRLt

i=VRVReRLt

因此,流过电路的电流

i=VReRLt+VR公式 5

因此,当串联RL电路由直流电压源激励时,其响应具有以下两项。

  • 第一项VReRLt对应于暂态响应

  • 第二项VR对应于稳态响应。这两项响应如下图所示。

Steady State Response

我们可以如下重新编写公式 5 −

i=VR1eRLt

i=VR1etτ公式 6

其中,τ时间常数,其值等于LR

公式 5 和公式 6 是相同的。但是,通过在公式 6 中代入一些t的值(如 0、τ、2τ、5τ 等),我们可以轻松理解上述流过电路的电流波形。

在上述流过电路的电流波形中,暂态响应从零开始存在,直到五个时间常数,而稳态响应从五个时间常数开始存在。

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