最大功率传输定理

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负载接收到的功率大小是电力和电子应用中的一个重要参数。在直流电路中，我们可以用一个电阻 R_L 欧姆来表示负载。同样，在交流电路中，我们可以用一个阻抗为 Z_L 欧姆的复杂负载来表示它。

最大功率传输定理指出，只有当负载电阻等于电源电阻时，直流电压源才能向可变负载电阻传递最大功率。

同样，最大功率传输定理指出，只有当负载阻抗等于电源阻抗的共轭复数时，交流电压源才能向可变复杂负载传递最大功率。

在本章中，让我们讨论一下直流电路的最大功率传输定理。

最大功率传输定理的证明

将任何二端线性网络或电路替换为可变负载电阻（电阻为 R_L 欧姆）左侧的戴维南等效电路。我们知道戴维南等效电路类似于一个实际电压源。

此概念如下图所示。

负载电阻上耗散的功率为

$$P_L = I^2 R_L$$

将 $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ 代入上式。

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ 公式1

最大功率传输的条件

为了求最大值或最小值，一阶导数为零。因此，对公式1关于 R_L 求导，并令其等于零。

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L)}{(R_{Th} + R_L)^4} \rbrace = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\Rightarrow R_{Th} = R_L\:或\:R_L = R_{Th}$$

因此，负载上最大功率耗散的条件是 $R_L = R_{Th}$。这意味着，如果负载电阻的值等于电源电阻（即戴维南电阻）的值，则负载上耗散的功率将为最大值。

最大功率传输的值

将 $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ 代入公式1。

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: 因为 \: R_{L} = R_{Th}$$

因此，传递到负载的最大功率为

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

最大功率传输的效率

我们可以使用以下公式计算最大功率传输效率，$\eta_{Max}$。

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ 公式2

其中，

• $P_{L, Max}$ 是传递到负载的最大功率。

• $P_S$ 是电源产生的功率。

电源产生的功率为

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:因为\:R_{L} = R_{Th}$$

• 将 $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ 代入上式。

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

• 将 $P_{L, Max}$ 和 $P_S$ 的值代入公式2。

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

我们可以用百分比表示最大功率传输效率，如下所示：

$$\% \eta_{Max} = \eta_{Max} \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = 50\%$$

因此，最大功率传输效率为50%。

示例

求可以传递到如下图所示电路的负载电阻 R_L 的最大功率。

步骤1 - 在戴维南定理章节中，我们计算了 A&B 端子左侧的戴维南等效电路。我们现在可以使用此电路。它如下图所示。

这里，戴维南电压 $V_{Th} = \frac{200}{3}V$，戴维南电阻 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

步骤2 - 用上述戴维南等效电路替换给定电路中 A&B 端子左侧的部分电路。生成的电路图如下图所示。

步骤3 - 我们可以使用以下公式找到将传递到负载电阻 R_L 的最大功率。

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

将 $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ 和 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ 代入上述公式。

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup }$$

$$P_{L, Max} = \frac{250}{3} W$$

因此，将传递到给定电路的负载电阻 RL 的最大功率为 $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W