网络拓扑矩阵

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在上一章中，我们讨论了如何将电路转换为等效图。现在，让我们讨论一下网络拓扑矩阵，它可以利用等效图来解决任何电路或网络问题。

与网络图相关的矩阵

以下是图论中使用的三个矩阵。

• 关联矩阵
• 基本回路矩阵
• 基本割集矩阵

关联矩阵

关联矩阵表示给定电路或网络的图。因此，可以从**关联矩阵**绘制出相同电路或网络的图。

我们知道图由一组节点组成，这些节点通过一些支路连接。因此，支路与节点的连接称为关联。关联矩阵用字母A表示。它也称为节点到支路的关联矩阵或**节点关联矩阵**。

如果一个**有向图**中有'n'个节点和'b'个支路，则关联矩阵将有'n'行和'b'列。这里，行和列分别对应于有向图的节点和支路。因此，关联矩阵的**阶数**将为**n × b**。

**关联矩阵的元素**将具有以下三个值之一：+1、-1和0。

• 如果支路电流离开选定的节点，则元素的值将为+1。

• 如果支路电流进入选定的节点，则元素的值将为-1。

• 如果支路电流既不进入选定的节点，也不离开选定的节点，则元素的值将为0。

求关联矩阵的步骤

按照以下步骤查找有向图的关联矩阵。

• 一次选择给定有向图中的一个节点，并在该节点对应的那一行中填充关联矩阵元素的值。

• 对给定有向图的所有节点重复上述步骤。

示例

考虑以下**有向图**。

对应于上述有向图的**关联矩阵**将是

$$A = \begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

上述矩阵的行和列分别表示给定有向图的节点和支路。这个关联矩阵的阶数是4 × 6。

通过观察上述关联矩阵，我们可以得出结论：关联矩阵的列元素的**总和**等于零。这意味着支路电流只从一个节点离开并进入另一个节点。

**注意** - 如果给定的图是无向图，则通过在每条支路上表示箭头将其转换为有向图。我们可以考虑每条支路中电流流动的任意方向。

基本回路矩阵

基本回路或**f-回路**是一个回路，它只包含一个支路和一个或多个树枝。因此，f-回路的数量将等于支路的数量。基本回路矩阵用字母B表示。它也称为**基本回路矩阵**和关联矩阵。该矩阵给出支路电流和支路电流之间的关系。

如果一个**有向图**中有'n'个节点和'b'个支路，则对应于给定图的选定树的余树中存在的支路数将为b-n+1。

因此，基本回路矩阵将有'b-n+1'行和'b'列。这里，行和列分别对应于余树的支路和给定图的支路。因此，基本回路矩阵的阶数将为**(b - n + 1) × b**。

**基本回路矩阵的元素**将具有以下三个值之一：+1、-1和0。

• 对于选定f-回路的支路，元素的值将为+1。

• 对于其余不是选定f-回路一部分的支路和树枝，元素的值将为0。

• 如果选定f-回路的树枝电流方向与f-回路支路电流方向相同，则元素的值将为+1。

• 如果选定f-回路的树枝电流方向与f-回路支路电流方向相反，则元素的值将为-1。

求基本回路矩阵的步骤

按照以下步骤查找给定有向图的基本回路矩阵。

• 选择给定有向图的一棵树。

• 通过一次包含一个支路，我们将得到一个f-回路。在基本回路矩阵的一行中填充对应于此f-回路的元素值。

• 对所有支路重复上述步骤。

示例

看一下以下**有向图**的树，该树用于关联矩阵。

上述树包含三个支路d、e和f。因此，支路a、b和c将是对应于上述树的余树的支路。通过将一个支路一次添加到上述树中，我们将得到一个**f-回路**。因此，由于有三个支路，将会有三个**f-回路**。这三个f-回路如下图所示。

在上图中，用彩色线表示的支路形成f-回路。我们将从每个f-回路获得关联矩阵的行元素值。因此，上述所考虑树的**关联矩阵**将是

$$B = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

上述矩阵的行和列分别表示给定有向图的支路和支路。这个关联矩阵的阶数是3 × 6。

有向图的**基本回路矩阵的数量**将等于该有向图的树的数量。因为每棵树都将有一个基本回路矩阵。

基本割集矩阵

基本割集或**f-割集**是从图中移除的最小数量的支路，以使原始图变为两个隔离的子图。f-割集只包含**一个树枝**和一个或多个支路。因此，f-割集的数量将等于树枝的数量。

**基本割集矩阵**用字母C表示。该矩阵给出支路电压和树枝电压之间的关系。

如果一个**有向图**中有'n'个节点和'b'个支路，则给定图的选定树中存在的树枝数将为n-1。因此，基本割集矩阵将有'n-1'行和'b'列。这里，行和列分别对应于选定树的树枝和给定图的支路。因此，基本割集矩阵的**阶数**将为**(n-1) × b**。

**基本割集矩阵的元素**将具有以下三个值之一：+1、-1和0。

• 对于选定f-割集的树枝，元素的值将为+1。

• 对于其余不是选定f-割集一部分的树枝和支路，元素的值将为0。

• 如果选定f-割集的支路电流方向与f-割集树枝电流方向相同，则元素的值将为+1。

• 如果选定f-割集的支路电流方向与f-割集树枝电流方向相反，则元素的值将为-1。

求基本割集矩阵的步骤

按照以下步骤查找给定有向图的基本割集矩阵。

• 选择给定有向图的一棵树，并用虚线表示支路。

• 通过一次移除一个树枝和必要的支路，我们将得到一个f-割集。在基本割集矩阵的一行中填充对应于此f-割集的元素值。

• 对所有树枝重复上述步骤。

示例

考虑我们在关联矩阵部分中讨论的相同的**有向图**。选择该有向图的支路d、e和f作为树枝。因此，该有向图的其余支路a、b和c将是支路。

**树枝**d、e和f用实线表示，**支路**a、b和c在下图中用虚线表示。

通过一次移除一个树枝和必要的支路，我们将得到一个f-割集。因此，由于有三个树枝，将会有三个f-割集。这三个**f-割集**如下图所示。

通过移除C₁、C₂和C₃的一组树枝和支路，我们将有三个f-割集。我们将从每个f-割集获得基本割集矩阵的行元素值。因此，上述所考虑树的**基本割集矩阵**将是

$$C = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

上述矩阵的行和列分别表示给定有向图的树枝和支路。这个基本割集矩阵的阶数是3 × 6。

有向图的**基本割集矩阵的数量**将等于该有向图的树的数量。因为每棵树都将有一个基本割集矩阵。