推理 - 不等式

基于不等式和编码不等式的题目中涉及两个基本问题的组合。

在这种类型的题目中，编码方案完全在题目本身给出。解码给定题目中的不等式不会比多花几秒钟更令人头疼。

从本质上讲，这是一个不等式的题目，应该掌握这方面的内容。因此，我们首先学习不等式的基础知识。

我们知道 5 和 3 相乘的结果与数字 15 相等。由于它们相等，所以是等式，但如果 5 × 5 ≠ 15，则 5 和 5 的乘积不相等于数字 15，这是一个不等式。

大于 - 用 > 表示。例如，5 × 5 > 15

小于 - 用 < 表示。例如，5 × 2 < 15

大于或等于 - 用 ≥ 表示。当我们不知道两个数字之间不等式的确切条件时，我们使用此符号。例如，考虑两个数字x和q。我们知道x 不小于 q。在这种情况下，x 可以等于 q 或大于 q。所以我们使用 ≥ 符号。

小于或等于 - 用 ≤ 表示。当一个数字小于另一个数字或等于该数字时，使用此符号。例如，考虑两个数字X和B，其中X不大于B。在这种情况下，X 小于或等于 B。所以它可以表示为X ≤ B。

组合不等式的两条黄金法则如下：

一个共同项可以组合两个不等式。

示例 1

不等式 - A > B，C > D

这里使用了四个项，但没有共同项。因此，这两个不等式无法组合。

示例 2

不等式 - A ≤ B，X ≥ Y

因此，这里也缺少共同项。所以它们无法组合。

如果共同项大于一个且小于另一个，则可以组合这两个不等式。

示例 1

不等式 - P > X，X > C。

这里，共同项是 X。X 大于 C 但小于 P。因此，组合将是这样的 – P > X > C 或 C < X < P。

示例 2

不等式 - X < P，X ≥ C

这里 X 小于 P，且大于或等于项 C。由于 X 是共同项，因此可以组合。即 - P > X ≥ C 或 C ≤ X < P。

从组合不等式中得出结论 -

另一个规则，第三条黄金法则，用于从组合不等式中得出结论，如下所示：

将两个不等式相加，并通过使中间项消失来得出结论。当且仅当组合不等式中的两个符号都是 ≥ 时，结论不等式具有 ≥ 符号，反之亦然。

因此，结论通常严格具有 > 符号，除非组合不等式中两次出现 ≥ 符号。

示例 1 - 从以下组合不等式中得出结论。

i. x > y > z

ii. x < y < z

解决方案 -

i. x > z

ii. x < z

解决不等式和编码不等式题目的策略

解决问题的步骤如下：

步骤 1 - 整洁快速地解码表示算术运算的符号。

示例 - 给定 P α Q。表示 P > Q。因此，用 > 替换 α。您应该一次处理一个代码，并在转到下一个代码之前将其替换为原始数学符号，并且您应该快速执行此操作。

步骤 2 - 一次考虑一个结论，并确定哪些陈述与评估结论相关。

现在，这需要一些思考。相关陈述是什么意思？这里我们指的是对得出结论没有用的陈述。如果有一个结论，比如 x > y，那么像 a > b 这样的陈述是无用的，因为它不包含 x 或 y。因此，任何分析都不能告诉我们关于此结论的任何信息。相关陈述是可以组合起来证明或反驳该结论的陈述。因此，此陈述与 x > y 无关。

要确定哪个陈述与结论相关，请取给定结论的两个项，并查看它们是否分别与一个共同项一起出现。这些陈述将是相关陈述。

示例 - 假设在执行步骤 1 后，我们有以下陈述；

M > N，L = M，O > N，L ≤ K

结论 -

a) M < K，b) L > N

步骤 3 - 使用三条黄金法则组合相关陈述并从中得出结论。黄金法则为：

规则 1 - 必须有一个共同项。

规则 2 - 共同项必须小于或等于一个项，且大于或等于另一个项。

规则 3 - 结论是不等式，通过让共同项消失获得，当且仅当第二步中的两个不等式都具有 ≤ 符号或 ≥ 符号时，它才具有 ≤ 或 ≥ 符号。在所有其他情况下，结论中将有 < 或 > 符号。

对于结论 a (M < K)，相关陈述为

M = L 和 L ≤ K。

通过组合，我们得到 M = L < K

所以，M ≤ K（根据步骤 3）

现在 M ≤ K 并不意味着 M < K，因为 M ≤ K 允许 M 小于或等于 K，这在 M < K 的情况下是不正确的。

对于结论 b，相关陈述为

M > N 和 L = M

组合后，我们得到，L = M > N L > N

因此，结论得到验证，很好。所以 L > N。如果不是，请执行以下检查。

检查 1 - 检查结论是否直接来自单个给定陈述。

有时陈述可能以 A ≥ B 的形式出现，而一个结论可能以 B ≤ A 的形式出现。显然，两者完全相同，但有时我们容易忽略考官的这种小技巧。

示例 - 考虑以下内容：（令 α 表示 >，β 表示 ≥，γ 表示 =，δ 表示 <，η 表示 ≤）

令，给定陈述：E γ F，C δ D，F δ g，D β F

结论 - 1. G η F。

这里结论是 G η F 或 G ≤ F，它与 F β G 或 F ≥ G 相同。因此，它直接来自一个陈述。

检查 2 - 在第三步后得出的结论可能与给定的结论相同，尽管乍一看可能并非如此。

检查 3 - 如果在第三步之后得到的结论具有 ≥ 符号，并且两个给定的结论在相同项之间具有 > 符号和 = 符号，则选择 1 或 2 正确。

例如 - 假设在执行第三步后得到 A ≥ B。现在假设给定的结论是 - I) A > B 和 II) A = B。那么“I 或 II 遵循”的选择是正确的。

同样，如果您得出结论 M ≤ N，并且给定的结论是 I) M < N 和 II) M = N，那么也会得到相同的答案。

检查 4 - 如果两个给定的结论在相同项之间具有以下符号

a) ≤ 和 > 符号，或

b) < 和 > 符号，或

c) > 和 ≤ 符号，或

d) ≥ 和 < 符号

并且如果在上述任何步骤中都没有接受任何结论；则选择两者之一遵循是正确的。

假设，在一个给定的问题中，结论是

a) A ≥ B b) A < B

现在假设由于任何先前的步骤，它们都没有被证明为真。由于它们具有相同的对（A 和 B）并且符号为 ≥ 和 <；则选择两者之一遵循是正确的。

注意 - 检查 4 仅仅说明一个数字相对于另一个数字只能具有三个位置。它可以小于、等于或大于另一个数字。

这对于任何两个数字来说都是普遍正确的。也就是说，[A ≤ B 或 A > B] 是一个普遍正确的陈述，因为 A 可以是（小于或等于）或（大于）B。

因此，对于任何两个数字 A 和 B，以下始终正确：

I. A ≤ B 或 A < B

II. A < B 或 A > B

III. A > B 或 A ≤ B

IV. A ≥ B 或 A < B

这四对称为互补对。在这种情况下，两个陈述中总有一个是正确的。我们选择“两者之一遵循”作为答案。但请记住，我们只有在两个陈述都没有在任何先前的步骤中被证明的情况下，才将其作为我们的答案。