数字信号处理 - CT 信号分类

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连续时间信号可以根据不同的条件或对信号执行的操作进行分类。

偶信号和奇信号

偶信号

如果信号满足以下条件，则称其为偶信号：

$$x(-t) = x(t)$$

这里，信号的时间反转不会导致幅度发生任何变化。例如，考虑下面所示的三角波。

三角信号是偶信号，因为它关于 Y 轴对称。我们可以说它是关于 Y 轴的镜像。

考虑下图所示的另一个信号。

我们可以看到，上述信号是偶信号，因为它关于 Y 轴对称。

奇信号

如果信号满足以下条件，则称其为奇信号：

$$x(-t) = -x(t)$$

这里，时间反转和幅度变化同时发生。

在上图中，我们可以看到一个阶跃信号 x(t)。为了测试它是否是奇信号，我们首先进行时间反转，即 x(-t)，结果如上图所示。然后我们反转所得信号的幅度，即 –x(-t)，结果如上图所示。

如果我们比较第一个和第三个波形，我们可以看到它们是相同的，即 x(t)= -x(-t)，这满足我们的条件。因此，上述信号是奇信号。

一些与偶信号和奇信号相关的重要的结果如下所示。

• 偶 × 偶 = 偶
• 奇 × 奇 = 偶
• 偶 × 奇 = 奇
• 偶 ± 偶 = 偶
• 奇 ± 奇 = 奇
• 偶 ± 奇 = 既非偶也非奇

将任何信号表示为偶数或奇数形式

有些信号不能直接分类为偶数或奇数类型。它们表示为偶数和奇数信号的组合。

$$x(t)\rightarrow x_{e}(t)+x_{0}(t)$$

其中 x_e(t) 表示偶信号，x_o(t) 表示奇信号

$$x_{e}(t)=\frac{[x(t)+x(-t)]}{2}$$

和

$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$

示例

求信号 $x(n) = t+t^{2}+t^{3}$ 的偶数和奇数部分

解 − 反转 x(n)，我们得到

$$x(-n) = -t+t^{2}-t^{3}$$

现在，根据公式，偶数部分

$$x_{e}(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}$$

$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})+(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$

$$= t^{2}$$

类似地，根据公式，奇数部分是

$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$

$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})-(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$

$$= t+t^{3}$$

周期信号和非周期信号

周期信号

周期信号在一定时间间隔后重复自身。我们可以用等式形式表示为：

$$x(t) = x(t)\pm nT$$

其中，n = 整数 (1,2,3……)

T = 基波周期 (FTP) ≠ 0 且 ≠∞

基波周期 (FTP) 是信号具有周期性的最小正定值。

上图显示了一个幅度为 A 的三角信号。这里，信号每 1 秒重复一次。因此，我们可以说该信号是周期性的，其 FTP 为 1 秒。

非周期信号

简单地说，我们可以说，不是周期性的信号本质上是非周期性的。显然，这些信号不会在任何时间间隔后重复自身。

非周期信号不遵循一定的格式；因此，没有特定的数学方程可以描述它们。

能量信号和功率信号

当且仅当包含的总能量有限且非零 (0<E<∞) 时，信号被称为能量信号。因此，对于任何能量型信号，总归一化信号都是有限且非零的。

正弦交流电流信号是能量型信号的完美示例，因为它在一种情况下处于正半周期，而在下一半周期则为负。因此，其平均功率变为零。

无损电容器也是能量型信号的完美示例，因为它在连接到电源时会充电到最佳水平，并且当电源移除时，它会通过负载耗散等量的能量，使其平均功率为零。

对于任何有限信号 x(t)，能量可以表示为 E，并写成：

$$E = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2}(t)dt$$

能量型信号的频谱密度给出了分布在各个频率水平上的能量量。

功率型信号

当且仅当归一化平均功率有限且非零，即 (0<p<∞) 时，信号被称为功率型信号。对于功率型信号，归一化平均功率是有限且非零的。几乎所有周期信号都是功率信号，它们的平均功率是有限且非零的。

用数学形式表示，信号 x(t) 的功率可以写成：

$$P = \lim_{T \rightarrow \infty}1/T\int_{-T/2}^{+T/2} x^{2}(t)dt$$

能量信号和功率信号的区别

下表总结了能量信号和功率信号的区别。

例题解析

例 1 − 求信号 $z(t) = 2\cos(3\Pi t+30^{o})+4\sin(3\Pi +30^{o})$ 的功率

解 − 上述两个信号彼此正交，因为它们的频率项彼此相同，并且它们具有相同的相位差。因此，总功率将是各个功率的总和。

设 $z(t) = x(t)+y(t)$

其中 $x(t) = 2\cos (3\Pi t+30^{o})$ 和 $y(t) = 4\sin(3\Pi +30^{o})$

x(t) 的功率 = $\frac{2^{2}}{2} = 2$

y(t) 的功率 = $\frac{4^{2}}{2} = 8$

因此，$P(z) = p(x)+p(y) = 2+8 = 10$…答案。

例 2 − 测试给定信号 $x(t) = t^{2}+j\sin t$ 是否为共轭信号？

解 − 这里，实部 t² 为偶数，虚部 (虚部) $\sin t$ 为奇数。所以上述信号是共轭信号。

例 3 − 验证 $X(t)= \sin \omega t$ 是否为奇信号或偶信号。

解 − 给定 $X(t) = \sin \omega t$

通过时间反转，我们将得到 $\sin (-\omega t)$

但我们知道 $\sin(-\phi) = -\sin \phi$。

因此，

$$ \sin (-\omega t) = -\sin \omega t $$

这满足信号为奇信号的条件。因此，$\sin \omega t$ 是奇信号。