数字信号处理 - Z 变换反变换

如果我们想分析一个已经用频域表示的系统，作为离散时间信号，那么我们就需要进行Z反变换。

数学上，它可以表示为：

$$x(n) = Z^{-1}X(Z)$$

其中 x(n) 是时域信号，X(Z) 是频域信号。

如果我们想将上述方程表示为积分形式，我们可以写成

$$x(n) = (\frac{1}{2\Pi j})\oint X(Z)Z^{-1}dz$$

这里，积分是在闭合路径 C 上进行的。该路径位于 x(z) 的收敛域内，并且包含原点。

求解 Z 反变换的方法

当需要以离散格式进行分析时，我们通过 Z 反变换将频域信号转换回离散格式。我们采用以下四种方法来确定 Z 反变换。

在这种方法中，信号 x(z) 的 Z 变换可以表示为多项式的比率，如下所示：

$$x(z)=N(Z)/D(Z)$$

现在，如果我们继续用分母去除分子，我们将得到如下所示的级数

$$X(z) = x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+...\quad...\quad...$$

上述序列表示给定信号的 Z 反变换级数（对于 n≥0），并且上述系统是因果的。

然而，对于 n<0，级数可以写成：

$$x(z) = x(-1)Z^1+x(-2)Z^2+x(-3)Z^3+...\quad...\quad...$$

这里，信号也首先以 N(z)/D(z) 的形式表示。

如果它是分数有理式，它将表示如下：

$x(z) = b_0+b_1Z^{-1}+b_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+b_mZ^{-m})/(a_0+a_1Z^{-1}+a_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+a_nZ^{-N})$

当 m<n 且 an≠0 时，上述为非真分数。

如果比率不是真分数（即非真分数），则我们必须将其转换为真分数形式才能求解。

在这种方法中，我们通过对所有极点处的 $[x(z)Z^{n-1}]$ 的留数求和来获得 Z 反变换 x(n)。数学上，这可以表示为

$$x(n) = \displaystyle\sum\limits_{所有极点 X(z)}[x(z)Z^{n-1}] 的留数$$

这里，在 $z = \beta$ 处任何 m 阶极点的留数为

$$留数 = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{Z \rightarrow \beta}\lbrace \frac{d^{m-1}}{dZ^{m-1}}\lbrace (z-\beta)^mX(z)Z^{n-1}\rbrace$$

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