数字信号处理 - DFT简介

类似于连续时间信号傅里叶变换，离散时间傅里叶变换可以用来将离散序列表示为其等效的频域表示，并用于分析线性时不变离散时间系统并开发各种计算算法。

在连续傅里叶变换中，X(jω)是x(n)的连续函数。然而，DFT处理的是用其频谱X(ω)的样本表示x(n)。因此，这种数学工具在方便的表示中具有重要的计算意义。周期性和非周期性序列都可以通过此工具进行处理。周期性序列需要通过将周期扩展到无穷大来进行采样。

频域采样

从引言中可以看出，我们需要知道如何进行频域采样，即采样X(ω)。因此，采样傅里叶变换和DFT之间的关系如下所示。

同样，周期序列可以通过将周期N扩展到无穷大来适应此工具。

设一个非周期序列为：$X(n) = \lim_{N \to \infty}x_N(n)$

定义其傅里叶变换：

$X(\omega ) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-jwn}X(K\delta \omega)$...式(1)

这里，X(ω)以每个δω弧度间隔周期性地采样。

由于X(ω)在2π弧度内是周期的，我们只需要在基本范围内采样。样本在0≤ω≤2π的频率范围内以等距间隔采集。等效间隔之间的间距为$\delta \omega = \frac{2\pi }{N}k$弧度。

现在求值，$\omega = \frac{2\pi}{N}k$

$X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j2\pi nk/N},$ ...式(2)

其中k=0,1,……N-1

细分上述公式，并交换求和顺序

$X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}[\displaystyle\sum\limits_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)]e^{-j2\pi nk/N}$ ...式(3)

$\sum_{l=-\infty}^\infty x(n-Nl) = x_p(n) = 一个周期为N的周期函数，其傅里叶级数 = \sum_{k = 0}^{N-1}C_ke^{j2\pi nk/N}$

其中，n = 0,1,…..,N-1；‘p’代表周期性实体或函数

傅里叶系数为：

$C_k = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$k=0,1,…,N-1...式(4)

比较式(3)和式(4)，我们得到：

$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k)$ k=0,1,…,N-1...式(5)

$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{jw}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$...式(6)

从傅里叶级数展开式：

$x_p(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N} = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(\frac{2\pi}{N}k)e^{j2\pi nk/N}$...式(7)

其中n=0,1,…,N-1

在这里，我们从X(ω)得到了周期信号。只有当时域中没有混叠时，才能从$x_p(n)$中提取$x(n)$。$N\geq L$

N = $x_p(n)$的周期 L = $x(n)$的周期

$x(n) = \begin{cases}x_p(n), & 0\leq n\leq N-1\\0, & 其他\end{cases}$

映射以这种方式实现。

DFT的性质

线性性

它指出，信号组合的DFT等于各个信号DFT的和。让我们取两个信号x₁(n)和x₂(n)，它们的DFT分别为X₁(ω)和X₂(ω)。所以，如果

$x_1(n)\rightarrow X_1(\omega)$和$x_2(n)\rightarrow X_2(\omega)$

那么 $ax_1(n)+bx_2(n)\rightarrow aX_1(\omega)+bX_2(\omega)$

其中a和b是常数。

对称性

DFT的对称性可以像我们推导DTFT对称性一样推导出来。我们知道序列x(n)的DFT用X(K)表示。现在，如果x(n)和X(K)是复值序列，那么它可以表示为：

$x(n) = x_R(n)+jx_I(n),0\leq n\leq N-1$

和 $X(K) = X_R(K)+jX_I(K),0\leq K\leq N-1$

对偶性

让我们考虑一个信号x(n)，其DFT为X(K)。设有限持续时间序列为X(N)。然后根据对偶定理，

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么，$X(N)\longleftrightarrow Nx[((-k))_N]$

因此，利用这个定理，如果我们知道DFT，就可以很容易地找到有限持续时间序列。

复共轭性质

假设有一个信号x(n)，其DFT为X(K)。现在，如果信号的复共轭为x*(n)，那么我们可以利用下面的定理很容易地找到DFT，而无需进行太多计算。

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么，$x*(n)\longleftrightarrow X*((K))_N = X*(N-K)$

圆频率移位

序列x(n)与复指数序列$e^{j2\Pi kn/N}$的乘积等价于DFT在频率上循环移位L个单位。这是循环时间移位性质的对偶。

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么，$x(n)e^{j2\Pi Kn/N}\longleftrightarrow X((K-L))_N$

两个序列的乘法

如果有两个信号x₁(n)和x₂(n)，它们各自的DFT为X₁(k)和X₂(K)，那么时序中信号的乘法对应于其DFT的圆周卷积。

如果，$x_1(n)\longleftrightarrow X_1(K)\quad\&\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(K)$

帕塞瓦尔定理

对于复值序列x(n)和y(n)，一般来说

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)\quad \&\quad y(n)\longleftrightarrow Y(K)$

那么，$\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(K)Y^*(K)$

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