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数字信号处理 - Z 变换性质

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本章我们将了解 Z 变换的基本性质。

线性性

它指出，当两个或多个单独的离散信号乘以常数时，它们的 Z 变换也将乘以相同的常数。

数学表达式为：

a1x1(n)+a2x2(n)=a1X1(z)+a2X2(z)

证明 - 我们知道：

X(Z)=∞∑n=−∞x(n)Z−n

=∑∞n=−∞(a1x1(n)+a2x2(n))Z−n

=a1∑∞n=−∞x1(n)Z−n+a2∑∞n=−∞x2(n)Z−n

=a1X1(z)+a2X2(z) (证毕)

此处，收敛域为 ROC1⋂ROC2。

时间移位

时间移位特性描述了离散信号在时域的变化如何影响 Z 域，可以写成：

x(n−n0)⟷X(Z)Z−n

或 x(n−1)⟷Z−1X(Z)

证明 -

设 y(P)=X(P−K)

Y(z)=∑∞p=−∞y(p)Z−p

=∑∞p=−∞(x(p−k))Z−p

设 s = p-k

=∑∞s=−∞x(s)Z−(s+k)

=∑∞s=−∞x(s)Z−sZ−k

=Z−k[∑∞s=−∞x(m)Z−s]

=Z−kX(Z) (证毕)

此处，收敛域可以写成 Z = 0 (p>0) 或 Z = ∞(p<0)

示例

U(n) 和 U(n-1) 可以绘制如下

Time Shifting Example

U(n) 的 Z 变换可以写成：

∑∞n=−∞[U(n)]Z−n=1

U(n-1) 的 Z 变换可以写成：

∑∞n=−∞[U(n−1)]Z−n=Z−1

所以这里 x(n−n0)=Z−n0X(Z) (证毕)

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时间尺度变换

时间尺度变换特性告诉我们，当离散信号的时间进行尺度变换时，其 Z 域将如何变化，可以写成：

anx(n)⟷X(a−1Z)

证明 -

设 y(p)=apx(p)

Y(P)=∑∞p=−∞y(p)Z−p

=∑∞p=−∞apx(p)Z−p

=∑∞p=−∞x(p)[a−1Z]−p

=X(a−1Z)(证毕)

收敛域：= Mod(ar1) < Mod(Z) < Mod(ar2) 其中 Mod = 模

示例

让我们使用时间尺度变换特性确定 x(n)=ancosωn 的 Z 变换。

解 -

我们已经知道信号 cos(ωn) 的 Z 变换为：

∞∑n=−∞(cosωn)Z−n=(Z2−Zcosω)/(Z2−2Zcosω+1)

现在，应用时间尺度变换特性，ancosωn 的 Z 变换可以写成：

∑∞n=−∞(ancosωn)Z−n=X(a−1Z)

=[(a−1Z)2−(a−1Zcosωn)]/((a−1Z)2−2(a−1Zcosωn)+1)

=Z(Z−acosω)/(Z2−2azcosω+a2)

连续微分

连续微分特性表明，当我们对时域中的离散信号关于时间进行微分时，将进行 Z 变换。如下所示。

dx(n)dn=(1−Z−1)X(Z)

证明 -

考虑方程的左边 - dx(n)dn

=[x(n)−x(n−1)][n−(n−1)]

=x(n)−X(n−1)

=x(Z)−Z−1x(Z)

=(1−Z−1)x(Z) (证毕)

收敛域：R1< Mod (Z) <R2

示例

让我们找到由 x(n)=n2u(n) 给出的信号的 Z 变换

根据性质，我们可以写成

Zz[nU(n)]=−ZdZ[U(n)]dz

=−Zd[ZZ−1]dZ

=Z/((Z−1)2

=y(设)

现在，Z[n.y] 可以通过再次应用该性质找到：

Z(n,y)=−Zdydz

=−Zd[Z/(Z−1)3]dz

=Z(Z+1)/(Z−1)2

卷积

这描述了当离散信号形式发生卷积时系统的 Z 域变化，可以写成：

x1(n)∗x2(n)⟷X1(Z).X2(Z)

证明 -

X(Z)=∑∞n=−∞x(n)Z−n

=∑∞n=−∞[∑∞k=−∞x1(k)x2(n−k)]Z−n

=∑∞k=−∞x1(k)[∑∞nx2(n−k)Z−n]

=∑∞k=−∞x1(k)[∑∞n=−∞x2(n−k)Z−(n−k)Z−k]

设 n-k = l，则上述方程可以写成：

X(Z)=∑∞k=−∞x1(k)[Z−k∑∞l=−∞x2(l)Z−l]

=∑∞k=−∞x1(k)X2(Z)Z−k

=X2(Z)∑∞k=−∞x1(Z)Z−k

=X1(Z).X2(Z) (证毕)

收敛域：ROC1⋂ROC2

示例

让我们找到由两个信号给出的卷积

x1(n)={3,−2,2} ...(等式 1)

x2(n)={2,0≤4and0elsewhere} ...(等式 2)

第一个方程的 Z 变换可以写成：

∑∞n=−∞x1(n)Z−n

=3−2Z−1+2Z−2

第二个信号的 Z 变换可以写成：

∑∞n=−∞x2(n)Z−n

=2+2Z−1+2Z−2+2Z−3+2Z−4

因此，上述两个信号的卷积由下式给出：

X(Z)=[x1(Z)∗x2(Z)]

=[3−2Z−1+2Z−2]×[2+2Z−1+2Z−2+2Z−3+2Z−4]

=6+2Z−1+6Z−2+6Z−3+.........

进行逆 Z 变换，我们得到：

x(n)={6,2,6,6,6,0,4}

初始值定理

如果 x(n) 是一个因果序列，其 Z 变换为 X(z)，则初始值定理可以写成：

X(n)(atn=0)=limz→∞X(z)

证明 - 我们知道：

X(Z)=∑∞n=0x(n)Z−n

展开上述级数，我们得到：

=X(0)Z0+X(1)Z−1+X(2)Z−2+......

=X(0)×1+X(1)Z−1+X(2)Z−2+......

在上述情况下，如果 Z → ∞，则 Z−n→0（因为 n>0）

因此，我们可以说：

limz→∞X(z)=X(0) (证毕)

最终值定理

最终值定理指出，如果信号的 Z 变换表示为 X(Z)，并且极点都在单位圆内，则其最终值表示为 x(n) 或 X(∞)，可以写成：

X(∞)=limn→∞X(n)=limz→1[X(Z)(1−Z−1)]

条件 -

  • 仅适用于因果系统。
  • X(Z)(1−Z−1) 在 Z 平面上应该具有单位圆内的极点。

证明 - 我们知道

Z+[x(n+1)−x(n)]=limk→∞∑kn=0Z−n[x(n+1)−x(n)]

⇒Z+[x(n+1)]−Z+[x(n)]=limk→∞∑kn=0Z−n[x(n+1)−x(n)]

⇒Z[X(Z)+−x(0)]−X(Z)+=limk→∞∑kn=0Z−n[x(n+1)−x(n)]

这里，我们可以应用单边 Z 变换的高级性质。因此，上述方程可以改写为：

Z+[x(n+1)]=Z[X(2)+−x(0)Z0]=Z[X(Z)+−x(0)]

现在将 z = 1 代入上述方程，我们可以展开上述方程：

limk→∞[x(1)−x(0)+x(6)−x(1)+x(3)−x(2)+.........+x(x+1)−x(k)]

这可以表示为：

X(∞)=limn→∞X(n)=limz→1[X(Z)(1−Z−1)](证毕)

示例

让我们找到 x(n) 的初始值和最终值，其信号由下式给出

X(Z)=2+3Z−1+4Z−2

解 - 让我们首先通过应用定理找到信号的初始值

x(0)=limz→∞X(Z)

=limz→∞[2+3Z−1+4Z−2]

=2+(3∞)+(4∞)=2

现在让我们通过应用定理找到信号的最终值

x(∞)=limz→∞[(1−Z−1)X(Z)]

=limz→∞[(1−Z−1)(2+3Z−1+4Z−2)]

=limz→∞[2+Z−1+Z−2−4Z−3]

=2+1+1−4=0

Z 变换的其他一些性质列在下面 -

频域微分

它给出当离散信号关于时间进行微分时信号的 Z 域变化。

nx(n)⟷−ZdX(z)dz

其收敛域可以写成：

r2<Mod(Z)<r1

示例

让我们通过频域微分找到 x(n) 的值，其在 Z 域中的离散信号由 x(n)⟷X(Z)=log(1+aZ−1) 给出

根据性质，我们可以写成

nx(n)⟷−Zdx(Z)dz

=−Z[−aZ−21+aZ−1]

=(aZ−1)/(1+aZ−1)

=1−1/(1+aZ−1)

nx(n)=δ(n)−(−a)nu(n)

⇒x(n)=1/n[δ(n)−(−a)nu(n)]

时域相乘

它给出当在离散信号级别进行乘法运算时信号的 Z 域变化。

x1(n).x2(n)⟷(12Πj)[X1(Z)∗X2(Z)]

时域共轭

这描述了 Z 域中共轭离散信号的表示。

X∗(n)⟷X∗(Z∗)

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