数字信号处理 - Z 变换简介

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离散时间傅里叶变换 (DTFT) 存在于能量信号和功率信号中。Z 变换也存在于既不是能量也不是功率 (NENP) 类型的信号中，但仅在一定程度上。替换 $z=e^{jw}$ 仅用于将 Z 变换转换为 DTFT，仅适用于绝对可和信号。

因此，离散时间信号 x(n) 的 Z 变换可以用幂级数表示为 -

$$X(z) = \sum_{n-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$

上述等式表示一个双边 Z 变换等式。

通常，当一个信号进行 Z 变换时，它可以表示为 -

$$X(Z) = Z[x(n)]$$

或者 $x(n) \longleftrightarrow X(Z)$

如果是连续时间信号，则不需要 Z 变换，因为使用拉普拉斯变换。但是，离散时间信号只能通过 Z 变换进行分析。

收敛域

收敛域是 Z 平面中复变量 Z 的范围。信号的 Z 变换是有限的或收敛的。因此，ROC 表示 X(Z) 具有有限值的 Z 值集合。

ROC 的性质

• ROC 不包含任何极点。
• 对于右半边信号，ROC 将在 Z 平面的圆外。
• 对于左半边信号，ROC 将在 Z 平面的圆内。
• 对于稳定性，ROC 包含 Z 平面上的单位圆。
• 对于双边信号，ROC 是 Z 平面上的环。
• 对于有限持续时间信号，ROC 是整个 Z 平面。

Z 变换由以下因素唯一确定 -

• X(Z) 的表达式
• X(Z) 的 ROC

信号及其 ROC

示例

让我们找到给定信号 $x(n) = \lbrace 7,3,4,9,5\rbrace$ 的 Z 变换和 ROC，其中级数的原点在 3 处。

解 - 应用公式，我们有 -

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$

$= \sum_{n=-1}^3 x(n)Z^{-n}$

$= x(-1)Z+x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+x(3)Z^{-3}$

$= 7Z+3+4Z^{-1}+9Z^{-2}+5Z^{-3}$

ROC 是整个 Z 平面，不包括 Z = 0、∞、-∞