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数字信号处理 - Z 变换简介
离散时间傅里叶变换 (DTFT) 存在于能量信号和功率信号中。Z 变换也存在于既不是能量也不是功率 (NENP) 类型的信号中，但仅在一定程度上。替换 $z=e^{jw}$ 仅用于将 Z 变换转换为 DTFT，仅适用于绝对可和信号。
因此，离散时间信号 x(n) 的 Z 变换可以用幂级数表示为 -
$$X(z) = \sum_{n-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$上述等式表示一个双边 Z 变换等式。
通常，当一个信号进行 Z 变换时，它可以表示为 -
$$X(Z) = Z[x(n)]$$或者 $x(n) \longleftrightarrow X(Z)$
如果是连续时间信号，则不需要 Z 变换，因为使用拉普拉斯变换。但是，离散时间信号只能通过 Z 变换进行分析。
收敛域
收敛域是 Z 平面中复变量 Z 的范围。信号的 Z 变换是有限的或收敛的。因此，ROC 表示 X(Z) 具有有限值的 Z 值集合。
ROC 的性质
- ROC 不包含任何极点。
- 对于右半边信号，ROC 将在 Z 平面的圆外。
- 对于左半边信号，ROC 将在 Z 平面的圆内。
- 对于稳定性，ROC 包含 Z 平面上的单位圆。
- 对于双边信号，ROC 是 Z 平面上的环。
- 对于有限持续时间信号，ROC 是整个 Z 平面。
Z 变换由以下因素唯一确定 -
- X(Z) 的表达式
- X(Z) 的 ROC
信号及其 ROC
| x(n) | X(Z) | ROC |
|---|---|---|
| $\delta(n)$ | $1$ | 整个 Z 平面 |
| $U(n)$ | $1/(1-Z^{-1})$ | |Z|>1 |
| $a^nu(n)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | |Z|>|a| |
| $-a^nu(-n-1)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | |Z|<|a| |
| $na^nu(n)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | |Z|>|a| |
| $-a^nu(-n-1)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | |Z|<|a| |
| $U(n)\cos \omega n$ | $(Z^2-Z\cos \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | |Z|>1 |
| $U(n)\sin \omega n$ | $(Z\sin \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | |Z|>1 |
示例
让我们找到给定信号 $x(n) = \lbrace 7,3,4,9,5\rbrace$ 的 Z 变换和 ROC，其中级数的原点在 3 处。
解 - 应用公式，我们有 -
$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$
$= \sum_{n=-1}^3 x(n)Z^{-n}$
$= x(-1)Z+x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+x(3)Z^{-3}$
$= 7Z+3+4Z^{-1}+9Z^{-2}+5Z^{-3}$
ROC 是整个 Z 平面，不包括 Z = 0、∞、-∞
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