数字信号处理 - DFT时频变换

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我们知道，当$\omega = 2\pi K/N$且$N\rightarrow \infty$时，$\omega$变成连续变量，求和限制变为$-\infty$到$+\infty$。

因此，

$$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{j\omega}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{\frac{-j2\pi nk}{N}} = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$$

离散时间傅里叶变换 (DTFT)

我们知道，$X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$

其中，$X(e^{j\omega})$是连续的，并且关于ω以2π为周期。…eq(1)

现在，

$x_p(n) = \sum_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2 \pi nk/N}$ … 由傅里叶级数得到

$x_p(n) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N}\times \frac{2\pi}{N}$

ω变为连续，$\frac{2\pi}{N}\rightarrow d\omega$，因为上述原因。

$x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{n = 0}^{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$…eq(2)

离散时间傅里叶变换的逆变换

符号表示为：

$x(n)\Longleftrightarrow x(e^{j\omega})$(傅里叶变换对)

对于非周期序列x(n)，离散时间傅里叶变换存在的充要条件是绝对可和。

即$\sum_{n = -\infty}^\infty|x(n)|<\infty$

DTFT的性质

• 线性性 : $a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\Leftrightarrow a_1X_1(e^{j\omega})+a_2X_2(e^{j\omega})$

• 时移 − $x(n-k)\Leftrightarrow e^{-j\omega k}.X(e^{j\omega})$

• 时间反转 − $x(-n)\Leftrightarrow X(e^{-j\omega})$

• 频移 − $e^{j\omega _0n}x(n)\Leftrightarrow X(e^{j(\omega -\omega _0)})$

• 频域微分 − $nx(n) = j\frac{d}{d\omega}X(e^{j\omega})$

• 卷积 − $x_1(n)*x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\times X_2(e^{j\omega})$

• 乘积 − $x_1(n)\times x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})*X_2(e^{j\omega})$

• 互相关 − $y_{x_1\times x_2}(l)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\times X_2(e^{j\omega})$

• 调制定理 − $x(n)\cos \omega _0n = \frac{1}{2}[X_1(e^{j(\omega +\omega _0})*X_2(e^{jw})$

• 对称性 −$x^*(n)\Leftrightarrow X^*(e^{-j\omega})$ ;

  $x^*(-n)\Leftrightarrow X^*(e^{j\omega})$ ;

  $Real[x(n)]\Leftrightarrow X_{even}(e^{j\omega})$ ;

  $Imag[x(n)]\Leftrightarrow X_{odd}(e^{j\omega})$ ;

  $x_{even}(n)\Leftrightarrow Real[x(e^{j\omega})]$ ;

  $x_{odd}(n)\Leftrightarrow Imag[x(e^{j\omega})]$ ;

• 帕塞瓦尔定理 − $\sum_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X_1(e^{j\omega})|^2d\omega$

之前，我们研究了频域采样。利用这些基本知识，我们在频域对$X(e^{j\omega})$进行采样，以便可以从这些采样数据进行方便的数字分析。因此，DFT在时域和频域都进行了采样。假设$x(n) = x_p(n)$

因此，DFT表示为 -

$X(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{-\frac{j2\pi nk}{N}}$,k=0,1,….,N−1…eq(3)

IDFT表示为 -

$X(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi nk}{N}}$,n=0,1,….,N−1…eq(4)

$\therefore x(n)\Leftrightarrow X(k)$

旋转因子

表示为$W_N$，定义为$W_N = e^{-j2\pi /N}$。其幅值始终保持为单位。$W_N$的相位为$-2\pi /N$。它是在单位圆上的一个向量，用于计算方便。数学上可以表示为 -

$W_N^r = W_N^{r\pm N} = W_N^{r\pm 2N} = ...$

• 它是r的函数，周期为N。

  考虑N = 8，r = 0,1,2,3,….14,15,16,….

  $\Longleftrightarrow W_8^0 = W_8^8 = W_8^{16} = ... = ... = W_8^{32} = ... =1= 1\angle 0$

• $W_8^1 = W_8^9 = W_8^{17} = ... = ... = W_8^{33} = ... =\frac{1}{\sqrt 2}= j\frac{1}{\sqrt 2} = 1\angle-\frac{\pi}{4}$

线性变换

让我们了解一下线性变换 -

我们知道，

$DFT(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n).W_n^{-nk};\quad k = 0,1,….,N−1$

$x(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k).W_N^{-nk};\quad n = 0,1,….,N−1$

注意 - DFT的计算需要N²次复数乘法和N(N-1)次复数加法。

$x_N = \begin{bmatrix}x(0)\\x(1)\\.\\.\\x(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad 点\quad 向量\quad 表示\quad 信号\quad x_N$

$X_N = \begin{bmatrix}X(0)\\X(1)\\.\\.\\X(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad 点\quad 向量\quad 表示\quad 信号\quad X_N$

$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & ... & ... & 1\\1 & W_N & W_N^2 & ... & ... & W_N^{N-1}\\. & W_N^2 & W_N^4 & ... & ... & W_N^{2(N-1)}\\.\\1 & W_N^{N-1} & W_N^{2(N-1)} & ... & ... & W_N^{(N-1)(N-1)} \end{bmatrix}$

N点DFT的矩阵形式表示为 - $X_N = W_Nx_N$

$W_N\longmapsto$ 线性变换矩阵

$现在，\quad x_N = W_N^{-1}X_N$

IDFT的矩阵形式表示为

$$x_N = \frac{1}{N}W_N^*X_N$$

比较$x_N$的两个表达式，$\quad W_N^{-1} = \frac{1}{N}W_N^*$ 且 $W_N\times W_N^* = N[I]_{N\times N}$

因此，$W_N$是一个线性变换矩阵，一个正交（酉）矩阵。

根据$W_N$的周期性和对称性，可以得出结论，$W_N^{k+N/2} = -W_N^k$

循环对称性

长度为N≤L的有限持续时间x(n)的N点DFT等效于x(n)的周期延拓，即周期为N的$x_p(n)$的N点DFT。且$x_p(n) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)$。现在，如果我们将序列（一个周期序列）向右移动k个单位，则会得到另一个周期序列。这称为循环移位，表示为：

$$x_p^\prime (n) = x_p(n-k) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-k-Nl)$$

新的有限序列可以表示为

$$x_p^\prime (n) = \begin{cases}x_p^\prime(n), & 0\leq n\leq N-1\\0 & 其他情况\end{cases}$$

示例 - 令x(n)= {1,2,4,3}，N = 4，

$x_p^\prime (n) = x(n-k,模\quad N)\equiv x((n-k))_N\quad;例如-如果\quad k=2即\quad 向右移动2个单位\quad 且\quad N = 4，$

假设顺时针方向为正方向。

我们得到，$x\prime(n) = x((n-2))_4$

$x\prime(0) = x((-2))_4 = x(2) = 4$

$x\prime(1) = x((-1))_4 = x(3) = 3$

$x\prime(2) = x((-2))_4 = x(0) = 1$

$x\prime(3) = x((1))_4 = x(1) = 2$

结论 - N点序列的循环移位等效于其周期延拓的线性移位，反之亦然。

循环偶序列 - $x(N-n) = x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$

$即x_p(n) = x_p(-n) = x_p(N-n)$

共轭偶 -$x_p(n) = x_p^*(N-n)$

循环奇序列 - $x(N-n) = -x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$

$即x_p(n) = -x_p(-n) = -x_p(N-n)$

共轭奇 - $x_p(n) = -x_p^*(N-n)$

现在，$x_p(n) = x_{pe}+x_{po}(n)$，其中，

$x_{pe}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)+x_p^*(N-n)]$

$x_{po}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)-x_p^*(N-n)]$

对于任何实信号x(n)，$X(k) = X^*(N-k)$

$X_R(k) = X_R(N-k)$

$X_l(k) = -X_l(N-k)$

$\angle X(k) = -\angle X(N-K)$

时间反转 - 关于第0个样本反转样本。表示为：

$x((-n))_N = x(N-n),\quad 0\leq n\leq N-1$

时间反转是将序列的样本沿顺时针方向绘制，即假设为负方向。

其他一些重要性质

其他重要的IDFT性质 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$

• 时间反转 − $x((-n))_N = x(N-n)\longleftrightarrow X((-k))_N = X(N-k)$

• 循环时移 − $x((n-l))_N \longleftrightarrow X(k)e^{j2\pi lk/N}$

• 循环频移 − $x(n)e^{j2\pi ln/N} \longleftrightarrow X((k-l))_N$

• 复共轭性质 −

  $x^*(n)\longleftrightarrow X^*((-k))_N = X^*(N-k)\quad 和$

  $x^*((-n))_N = x^*(N-n)\longleftrightarrow X^*(-k)$

• 两个序列的乘积 −

  $x_1(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quad 和\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(k)$

  $\therefore x_1(n)x_2(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quad Ⓝ X_2(k)$

• 循环卷积 − 和两个DFT的乘积

  $x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k) =\sum_{k = 0}^{N-1}x_1(n).x_2((m-n))_n,\quad m = 0,1,2,... .,N-1 $

  $x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k)\longleftrightarrow X_1(k).X_2(k)$

• 循环相关 − 如果 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ 和 $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$，则存在一个互相关序列，表示为$\bar Y_{xy}$，使得 $\bar Y_{xy}(l) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*((n-l))_N = X(k).Y^*(k)$

• 帕塞瓦尔定理 − 如果 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ 和 $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$；

  $\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{n =0}^{N-1}X(k).Y^*(k)$