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数字信号处理 - Z 变换存在性



一个具有系统函数的系统,只有当所有极点位于单位圆内时才能稳定。首先,我们检查系统是否因果。如果系统是因果的,那么我们进行其BIBO稳定性确定;其中BIBO稳定性指的是有界输入对应有界输出的条件。

这可以写成:

Mod(X(Z))<

=Mod(x(n)Zn)<

=Mod(x(n)Zn)<

=Mod[x(n)(rejw)n]<0

=Mod[x(n)rn]Mod[ejwn]<

=n=Mod[x(n)rn]<

上述等式显示了Z变换存在的条件。

但是,DTFT信号存在的条件是

n=Mod(x(n)<

例1

让我们尝试找出给定信号的Z变换,该信号表示为

x(n)=(0.5)nu(n)+3nu(n)

=(2)nu(n)+3nu(n)

− 在这里,对于(2)nu(n),ROC是左侧的,且Z<2

对于3nu(n),ROC是右侧的,且Z>3

因此,此处信号的Z变换将不存在,因为没有公共区域。

例2

让我们尝试找出由下式给出的信号的Z变换

x(n)=2nu(n1)+(0.5)nu(n)

− 在这里,对于2nu(n1),信号的ROC是左侧的,且Z<2

对于信号(0.5)nu(n),ROC是右侧的,且Z>0.5

因此,形成的公共ROC为0.5<Z<2

因此,Z变换可以写成:

X(Z)={112Z1}+{1(10.5Z)1}

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例3

让我们尝试找出给定信号x(n)=2r(n)的Z变换

− r(n)是斜坡信号。因此,信号可以写成:

x(n)=2nu(n){1,n<0(u(n)=0)and2n,n0(u(n)=1)}

=u(n1)+2nu(n)

这里,对于信号u(n1),ROC Z<1,对于2nu(n),ROC Z>2。

因此,信号的Z变换将不存在。

因果系统的Z变换

因果系统可以定义为h(n)=0,n<0。对于因果系统,ROC将在Z平面的圆外。

H(Z)=n=0h(n)Zn

展开上述等式,

H(Z)=h(0)+h(1)Z1+h(2)Z2+.........

=N(Z)/D(Z)

对于因果系统,传递函数的展开不包含Z的正幂。对于因果系统,分子阶数不能超过分母阶数。这可以写成 -

limzH(Z)=h(0)=0orFinite

对于因果系统的稳定性,传递函数的极点应位于Z平面中的单位圆内。

反因果系统的Z变换

反因果系统可以定义为h(n)=0,n0。对于反因果系统,传递函数的极点应位于Z平面中的单位圆外。对于反因果系统,ROC将在Z平面中的圆内。

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