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数字信号处理 - Z 变换存在性
一个具有系统函数的系统,只有当所有极点位于单位圆内时才能稳定。首先,我们检查系统是否因果。如果系统是因果的,那么我们进行其BIBO稳定性确定;其中BIBO稳定性指的是有界输入对应有界输出的条件。
这可以写成:
Mod(X(Z))<∞
=Mod(∑x(n)Z−n)<∞
=∑Mod(x(n)Z−n)<∞
=∑Mod[x(n)(rejw)−n]<0
=∑Mod[x(n)r−n]Mod[e−jwn]<∞
=∑∞n=−∞Mod[x(n)r−n]<∞
上述等式显示了Z变换存在的条件。
但是,DTFT信号存在的条件是
∞∑n=−∞Mod(x(n)<∞例1
让我们尝试找出给定信号的Z变换,该信号表示为
x(n)=−(−0.5)−nu(−n)+3nu(n)
=−(−2)nu(n)+3nu(n)
解 − 在这里,对于−(−2)nu(n),ROC是左侧的,且Z<2
对于3nu(n),ROC是右侧的,且Z>3
因此,此处信号的Z变换将不存在,因为没有公共区域。
例2
让我们尝试找出由下式给出的信号的Z变换
x(n)=−2nu(−n−1)+(0.5)nu(n)
解 − 在这里,对于−2nu(−n−1),信号的ROC是左侧的,且Z<2
对于信号(0.5)nu(n),ROC是右侧的,且Z>0.5
因此,形成的公共ROC为0.5<Z<2
因此,Z变换可以写成:
X(Z)={11−2Z−1}+{1(1−0.5Z)−1}
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例3
让我们尝试找出给定信号x(n)=2r(n)的Z变换
解 − r(n)是斜坡信号。因此,信号可以写成:
x(n)=2nu(n){1,n<0(u(n)=0)and2n,n≥0(u(n)=1)}
=u(−n−1)+2nu(n)
这里,对于信号u(−n−1),ROC Z<1,对于2nu(n),ROC Z>2。
因此,信号的Z变换将不存在。
因果系统的Z变换
因果系统可以定义为h(n)=0,n<0。对于因果系统,ROC将在Z平面的圆外。
H(Z)=∞∑n=0h(n)Z−n
展开上述等式,
H(Z)=h(0)+h(1)Z−1+h(2)Z−2+.........
=N(Z)/D(Z)
对于因果系统,传递函数的展开不包含Z的正幂。对于因果系统,分子阶数不能超过分母阶数。这可以写成 -
limz→∞H(Z)=h(0)=0orFinite
对于因果系统的稳定性,传递函数的极点应位于Z平面中的单位圆内。
反因果系统的Z变换
反因果系统可以定义为h(n)=0,n≥0。对于反因果系统,传递函数的极点应位于Z平面中的单位圆外。对于反因果系统,ROC将在Z平面中的圆内。