数字信号处理 - Z 变换存在性

一个具有系统函数的系统，只有当所有极点位于单位圆内时才能稳定。首先，我们检查系统是否因果。如果系统是因果的，那么我们进行其BIBO稳定性确定；其中BIBO稳定性指的是有界输入对应有界输出的条件。

这可以写成：

$Mod(X(Z))< \infty$

$= Mod(\sum x(n)Z^{-n})< \infty$

$= \sum Mod(x(n)Z^{-n})< \infty$

$= \sum Mod[x(n)(re^{jw})^{-n}]< 0$

$= \sum Mod[x(n)r^{-n}]Mod[e^{-jwn}]< \infty$

$= \sum_{n = -\infty}^\infty Mod[x(n)r^{-n}]< \infty$

上述等式显示了Z变换存在的条件。

但是，DTFT信号存在的条件是

$$\sum_{n = -\infty}^\infty Mod(x(n)< \infty$$

例1

让我们尝试找出给定信号的Z变换，该信号表示为

$x(n) = -(-0.5)^{-n}u(-n)+3^nu(n)$

$= -(-2)^nu(n)+3^nu(n)$

解 − 在这里，对于$-(-2)^nu(n)$，ROC是左侧的，且Z<2

对于$3^nu(n)$，ROC是右侧的，且Z>3

因此，此处信号的Z变换将不存在，因为没有公共区域。

让我们尝试找出由下式给出的信号的Z变换

$x(n) = -2^nu(-n-1)+(0.5)^nu(n)$

解 − 在这里，对于$-2^nu(-n-1)$，信号的ROC是左侧的，且Z<2

对于信号$(0.5)^nu(n)$，ROC是右侧的，且Z>0.5

因此，形成的公共ROC为0.5<Z<2

因此，Z变换可以写成：

$X(Z) = \lbrace\frac{1}{1-2Z^{-1}}\rbrace+\lbrace\frac{1}{(1-0.5Z)^{-1}}\rbrace$

让我们尝试找出给定信号$x(n) = 2^{r(n)}$的Z变换

解 − r(n)是斜坡信号。因此，信号可以写成：

$x(n) = 2^{nu(n)}\lbrace 1, n<0 (u(n)=0)\quad and\quad2^n, n\geq 0(u(n) = 1)\rbrace$

$= u(-n-1)+2^nu(n)$

这里，对于信号$u(-n-1)$，ROC Z<1，对于$2^nu(n)$，ROC Z>2。

因此，信号的Z变换将不存在。

因果系统可以定义为$h(n) = 0,n<0$。对于因果系统，ROC将在Z平面的圆外。

$H(Z) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty}h(n)Z^{-n}$

展开上述等式，

$H(Z) = h(0)+h(1)Z^{-1}+h(2)Z^{-2}+...\quad...\quad...$

$= N(Z)/D(Z)$

对于因果系统，传递函数的展开不包含Z的正幂。对于因果系统，分子阶数不能超过分母阶数。这可以写成 -

$\lim_{z \rightarrow \infty}H(Z) = h(0) = 0\quad or\quad Finite$

对于因果系统的稳定性，传递函数的极点应位于Z平面中的单位圆内。

反因果系统可以定义为$h(n) = 0, n\geq 0$。对于反因果系统，传递函数的极点应位于Z平面中的单位圆外。对于反因果系统，ROC将在Z平面中的圆内。

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