密码学 - MixColumns 变换

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AES（高级加密标准）算法使用 MixColumns 变换进行数据加密和解密。此数学过程应用于 AES 数据矩阵的每一列。

它是如何工作的？

为了使 AES 中的 MixColumns 变换正常工作，状态矩阵的每一列都需要进行数学运算。此运算的基本组成部分是 GF(28) 中的多项式算术，GF(28) 是一种称为伽罗瓦域 (GF) 的原始代数域。

以下是其工作原理的详细说明 -

  • 状态矩阵表示 - 正在处理的数据存储在一个称为状态矩阵的 4x4 网格中。
  • 固定矩阵 - MixColumns 变换使用固定矩阵。此矩阵在整个加密和解密过程中保持不变。
  • 逐列乘法 - 状态矩阵的每一列都被视为 GF(2^8) 中的多项式。然后将该多项式乘以固定矩阵的对应列。
  • 多项式乘法 - 在 GF(2^8) 中乘以多项式时，需要遵循一些规则。首先，必须使用称为不可约多项式的固定多项式进行模运算。在 AES 的情况下，此多项式为 x8 + x4 + x3 + x + 1，用十六进制表示为 0x11B。
  • XOR 运算 - 在乘法阶段之后，将结果进行 XOR（异或）以生成每一列的最终结果。
  • 结果状态矩阵 - 通过对每一列执行乘法和 XOR 运算，生成转换后的状态矩阵，该矩阵显示 MixColumns 变换。

此方法产生的数据扩散和混淆增强了加密过程的安全性。通过确保输入数据中单个字节的修改会影响输出中的多个字节，攻击者更难访问和解密加密数据。

使用 Python 实现

为了对状态矩阵执行 MixColumns 变换，Python 代码实现了两个辅助函数：mix_columns 和 gf_multiply。在 AES 加密过程中的 MixColumns 阶段，通过将每一列中的字节与固定矩阵相乘，从而转换状态矩阵的列。

示例

def mix_columns(state):
   fixed_matrix = [
      [0x02, 0x03, 0x01, 0x01],
      [0x01, 0x02, 0x03, 0x01],
      [0x01, 0x01, 0x02, 0x03],
      [0x03, 0x01, 0x01, 0x02]
   ]

   new_state = []
   for col in range(4):
      new_column = []
      for row in range(4):
         val = 0
         for i in range(4):
            val ^= gf_multiply(fixed_matrix[row][i], state[i][col])
         new_column.append(val)
      new_state.append(new_column)
   return new_state

def gf_multiply(a, b):
   p = 0
   for _ in range(8):
      if b & 1:
         p ^= a
      hi_bit_set = a & 0x80
      a <<= 1
      if hi_bit_set:
         a ^= 0x1B  # irreducible polynomial
      b >>= 1
   return p if p < 0x80 else p ^ 0x11B

# Example usage:
state_matrix = [
   [0x32, 0x88, 0x31, 0xe0],
   [0x43, 0x5a, 0x31, 0x37],
   [0xf6, 0x30, 0x98, 0x07],
   [0xa8, 0x8d, 0xa2, 0x34]
]
new_state = mix_columns(state_matrix)

# Displaying output in matrix form
for row in new_state:
   print(row)

以下是上述示例的输出 -

输入/输出

[484, 6, 101, 424]
[67, 506, 318, 232]
[11, 322, 214, 421]
[170, 424, 414, 120]

使用 Java 实现

Java 实现的 mixColumns 函数接收一个 4x4 状态矩阵作为输入，并在应用 MixColumns 变换后输出修改后的状态矩阵。gfMultiply 函数用于在 GF(2^8) 中对每个矩阵元素执行多项式乘法。因此，使用 Java 的代码如下 -

示例

public class MixColumns {

   public static int[][] mixColumns(int[][] state) {
      int[][] fixedMatrix = {
         {0x02, 0x03, 0x01, 0x01},
         {0x01, 0x02, 0x03, 0x01},
         {0x01, 0x01, 0x02, 0x03},
         {0x03, 0x01, 0x01, 0x02}
      };

      int[][] newState = new int[4][4];
      for (int col = 0; col < 4; col++) {
         for (int row = 0; row < 4; row++) {
            int val = 0;
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
               val ^= gfMultiply(fixedMatrix[row][i], state[i][col]);
            }
            newState[row][col] = val;
         }
      }
      return newState;
   }

   public static int gfMultiply(int a, int b) {
      int p = 0;
      for (int i = 0; i < 8; i++) {
         if ((b & 1) != 0) {
            p ^= a;
         }
         int hiBitSet = a & 0x80;
         a <<= 1;
         if (hiBitSet != 0) {
            a ^= 0x1B;  // irreducible polynomial
         }
         b >>= 1;
      }
      return p;
   }

   public static void main(String[] args) {
      int[][] stateMatrix = {
         {0x32, 0x88, 0x31, 0xe0},
         {0x43, 0x5a, 0x31, 0x37},
         {0xf6, 0x30, 0x98, 0x07},
         {0xa8, 0x8d, 0xa2, 0x34}
      };
      int[][] newState = mixColumns(stateMatrix);

      // Displaying output in matrix form
      for (int[] row : newState) {
         for (int val : row) {
            System.out.print(String.format("%02X ", val));
         }
         System.out.println();
      }
   }
}

以下是上述示例的输出 -

输入/输出

FF 158 0B 1B1 
11D E1 142 B3
65 13E D6 85 
1A8 E8 1A5 163

使用 C++ 实现

在这些实现中，我们将使用 C++，并且我们将有一个名为 mixColumns 的函数，该函数接收一个 4x4 状态矩阵作为输入，并在使用 MixColumns 变换后返回转换后的状态矩阵。因此，代码如下 -

示例

#include <iostream>
#include <vector>

int gfMultiply(int a, int b);

std::vector<std::vector<int>> mixColumns(std::vector<std::vector<int>> state) {
   std::vector<std::vector<int>> fixedMatrix = {
      {0x02, 0x03, 0x01, 0x01},
      {0x01, 0x02, 0x03, 0x01},
      {0x01, 0x01, 0x02, 0x03},
      {0x03, 0x01, 0x01, 0x02}
   };

   std::vector<std::vector<int>> newState(4, std::vector<int>(4, 0));
   for (int col = 0; col < 4; col++) {
      for (int row = 0; row < 4; row++) {
         int val = 0;
         for (int i = 0; i < 4; i++) {
            val ^= gfMultiply(fixedMatrix[row][i], state[i][col]);
         }
         newState[row][col] = val;
      }
   }
   return newState;
}

int gfMultiply(int a, int b) {
   int p = 0;
   for (int i = 0; i < 8; i++) {
      if (b & 1) {
         p ^= a;
      }
      int hiBitSet = a & 0x80;
      a <<= 1;
      if (hiBitSet) {
         a ^= 0x1B;  // irreducible polynomial
      }
      b >>= 1;
   }
   return p;
}

int main() {
   std::vector<std::vector<int>> stateMatrix = {
      {0x32, 0x88, 0x31, 0xe0},
      {0x43, 0x5a, 0x31, 0x37},
      {0xf6, 0x30, 0x98, 0x07},
      {0xa8, 0x8d, 0xa2, 0x34}
   };
   auto newState = mixColumns(stateMatrix);

   // Displaying output in matrix form
   for (auto row : newState) {
      for (int val : row) {
         std::cout << std::hex << val << " ";
      }
      std::cout << std::endl;
   }
   return 0;
}

以下是上述示例的输出 -

输入/输出

ff 158 b 1b1 
11d e1 142 b3 
65 13e d6 85 
1a8 e8 1a5 163

总结

MixColumns 变换是 AES 加密算法的重要组成部分，它增强了数据加密和解密过程的安全性。此变换在 GF(2^8) 伽罗瓦域中使用多项式算术对状态矩阵的列进行操作。Python、Java 和 C++ 中提供的实现展示了如何以编程方式实现 MixColumns 变换。

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