DSA - 分支限界算法

分支限界算法是一种用于解决组合优化问题的技术。首先，该算法将给定问题分解成多个子问题，然后使用一个边界函数，它只消除那些无法提供最优解的解。

组合优化问题指的是那些涉及从一组有限的可能解中找到最佳解的问题，例如 0/1 背包问题、旅行商问题等等。

何时使用分支限界算法？

分支限界算法可以在以下场景中使用：

• 每当我们遇到一个优化问题，其变量属于一个离散集合时。这类问题称为离散优化问题。

• 如前所述，该算法也用于解决组合优化问题。

• 如果给定问题是一个数学优化问题，那么也可以应用分支限界算法。

分支限界算法是如何工作的？

分支限界算法通过以系统的方式探索问题的搜索空间来工作。它使用树结构（状态空间树）来表示解及其扩展。树中的每个节点都是部分解的一部分，每条边对应于通过添加或删除元素来扩展此解。根节点表示空解。

该算法从根节点开始，并向其子节点移动。在每一层，它都会评估子节点是否满足问题的约束以获得可行解。重复此过程，直到到达叶节点，它表示一个完整的解。

分支限界中的搜索技术

实现分支限界算法有多种不同的方法。实现取决于如何生成子节点以及如何搜索要扩展的下一个节点。一些常见的搜索技术包括：

• 广度优先搜索 - 它维护一个要扩展的节点队列，这意味着此搜索技术使用先进先出顺序来搜索下一个节点。

• 最小成本搜索 - 此搜索技术通过计算每个节点的边界值来工作。该算法选择具有最低边界值的节点来扩展下一个节点。

• 深度优先搜索 - 它维护一个要扩展的节点栈，这意味着此搜索技术使用后进先出顺序来搜索下一个节点。

分支限界解的类型

分支限界算法可以产生两种类型的解。如下所示：

• 可变大小解 - 此类解由一个子集表示，它是给定问题的最优解。

• 固定大小解 - 此类解由 0 和 1 表示。

分支限界算法的优点

分支限界算法的优点如下：

• 它可以通过避免不必要地探索状态空间树来减少时间复杂度。

• 它具有不同的搜索技术，可用于不同类型的程序和偏好。

分支限界算法的缺点

分支限界算法的一些缺点如下：

• 在最坏的情况下，它可能会搜索所有组合以生成解。

• 如果状态空间树太大，它可能会非常耗时。