CBSE 12年级数学课程大纲

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课程结构

课程大纲

单元一：关系与函数

第1章：关系与函数

• 关系的类型 -
  • 自反
  • 对称
  • 传递和等价关系
  • 一对一和满射函数
  • 复合函数
  • 函数的反函数
  • 二元运算

第2章：反三角函数

• 定义、值域、定义域、主值分支
• 反三角函数的图形
• 反三角函数的基本性质

单元二：代数

第1章：矩阵

• 概念、符号、阶数、相等、矩阵的类型、零矩阵和单位矩阵、矩阵的转置、对称矩阵和反对称矩阵。

• 矩阵运算：加法和乘法以及与标量的乘法

• 加法、乘法和标量乘法的简单性质

• 矩阵乘法的非交换性以及积为零矩阵的非零矩阵的存在性（限于 2 阶方阵）

• 初等行和列运算的概念

• 可逆矩阵和逆矩阵的唯一性证明（如果存在）；（这里所有矩阵都具有实数项）。

第2章：行列式

• 方阵的行列式（最多 3 × 3 矩阵），行列式的性质，子式，代数余子式以及行列式在求三角形面积中的应用

• 方阵的伴随矩阵和逆矩阵

• 线性方程组的相容性、不相容性和解的个数（通过例子），使用矩阵的逆解二元或三元线性方程组（具有唯一解）

单元三：微积分

第1章：连续性和可导性

• 连续性和可导性，复合函数的导数，链式法则，反三角函数的导数，隐函数的导数

• 指数函数和对数函数的概念。

• 对数函数和指数函数的导数

• 对数微分，参数形式表示的函数的导数。二阶导数

• 罗尔定理和拉格朗日中值定理（不证明）及其几何解释

第2章：导数的应用

• 导数的应用：物体的变化率，增函数/减函数，切线和法线，导数在近似中的应用，最大值和最小值（第一导数检验通过几何方法激发，第二导数检验作为可证明的工具给出）

• 简单问题（说明学科的基本原理和理解以及现实生活中的情况）

第3章：积分

• 积分作为微分的逆过程

• 用换元法、部分分式法和分部积分法求各种函数的积分

• 以下类型的简单积分的计算以及基于它们的题目

  $\int \frac{dx}{x^2\pm {a^2}'}$, $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm {a^2}'}}$, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$, $\int \frac{dx}{ax^2+bx+c} \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$

  $\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c}dx$, $\int \frac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$, $\int \sqrt{a^2\pm x^2}dx$, $\int \sqrt{x^2-a^2}dx$

  $\int \sqrt{ax^2+bx+c}dx$, $\int \left ( px+q \right )\sqrt{ax^2+bx+c}dx$

• 定积分作为和的极限，微积分基本定理（不证明）

• 定积分的基本性质和定积分的计算

第4章：积分的应用

• 在求简单曲线下面积中的应用，特别是直线、圆/抛物线/椭圆（仅限于标准形式）

• 上述任意两条曲线之间的面积（区域应明确识别）

第5章：微分方程

• 微分方程的定义、阶数和次数、通解和特解

• 已知通解的微分方程的构造

• 用分离变量法解微分方程，一阶一级的齐次微分方程的解

• 以下类型的线性微分方程的解 -

  • dy/dx + py = q，其中 p 和 q 是 x 的函数或常数

  • dx/dy + px = q，其中 p 和 q 是 y 的函数或常数

单元四：向量与三维几何

第1章：向量

• 向量和标量，向量的模和方向

• 向量的方向余弦和方向数

• 向量的类型（相等向量、单位向量、零向量、平行向量和共线向量），点的位矢，向量的负向量，向量的分量，向量的加法，向量与标量的乘法，分线段按一定比例的点的位矢

• 向量的标积（点积）的定义、几何解释、性质和应用，向量的矢积（叉积），向量的标积（混合积）

第2章：三维几何

• 连接两点的直线的方向余弦和方向数

• 直线的笛卡尔方程和向量方程，共面直线和异面直线，两条直线之间的最短距离

• 平面的笛卡尔方程和向量方程

• 之间的夹角 -

  • 两条直线

  • 两个平面

  • 一条直线和平面

• 点到平面的距离

单元五：线性规划

第1章：线性规划

• 介绍
• 相关术语，例如 -
  • 约束条件
  • 目标函数
  • 优化
  • 不同类型的线性规划 (L.P.) 问题
  • L.P. 问题的数学建模
  • 二元问题的图解法
  • 可行域和不可行域（有界和无界）
  • 可行解和不可行解
  • 最优可行解（最多三个非平凡约束）

单元六：概率

第1章：概率

• 条件概率
• 概率的乘法定理
• 独立事件，全概率
• 贝叶斯定理
• 随机变量及其概率分布
• 随机变量的均值和方差
• 重复独立（伯努利）试验和二项分布

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