数字电子技术中的五变量卡诺图

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卡诺图或卡诺图是一种简化技术，用于最小化给定的复杂布尔函数。卡诺图或卡诺图是一个图表或表格，它由相邻单元格的排列组成，其中卡诺图的每个单元格表示或与式中变量的特定组合。卡诺图可用于简化涉及任意数量变量的布尔函数。但是，对于涉及五个或更多变量的表达式，使用卡诺图简化布尔函数变得非常复杂。因此，在实际应用中，卡诺图仅限于六个变量。

卡诺图中的单元格数量取决于给定布尔函数中变量的数量。卡诺图将有2ⁿ个单元格或方格，其中n是布尔表达式中变量的数量。因此，对于一个二变量函数，卡诺图将有2² = 4个单元格，对于一个三变量布尔函数，卡诺图将有2³ = 8个单元格，对于一个四变量布尔函数，卡诺图将有2⁴ = 16个单元格，依此类推。

在这里，我们将讨论五变量卡诺图，并将其用于简化5个变量的布尔函数。所以让我们从五变量卡诺图的介绍开始。

五变量卡诺图

五变量卡诺图用于将5变量布尔表达式最小化到其简化形式。以下是五变量卡诺图的重要特征：

五变量卡诺图有32 (2⁵)个单元格或方格，并且卡诺图的每个单元格表示布尔表达式的最小项或最大项。

如果给定的布尔函数以SOP（积之和）形式表示，则五变量布尔函数的最小项表示为m₀,m₁,m₂,m₃ ... m₃₁。其中，m₀对应于$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \: \overline{E} \rgroup}$，m₁对应于$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} E \rgroup}$，… 以及m₃₁对应于$\mathrm{\lgroup ABCDE \rgroup}$。

另一方面，如果5变量布尔函数以POS（和之积）形式表示，则函数的最大项表示为M₀, M₁, M₂,… M₃₁。

其中，M0表示

$$\mathrm{\lgroup A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \rgroup}$$

M₁表示

$$\mathrm{\lgroup A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup}$$

M₃₁表示

$$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup}$$ .

五变量卡诺图的32个单元格分为两个16个单元格的块，它们并排排列。左块表示从m₀到m₁₅（或M₀到M₁₅. Wheck, thck, th）的最小项（或最大项）。在左块中，第一个变量（设为A）为0。右块表示从m₁₆到m₃₁（或M₁₆到M₃₁）的最小项（或最大项），在此块中A为1。

在五变量卡诺图中，我们可以通过包含其两个块来形成2方格、4方格、8方格、16方格或32方格。此外，当一个块叠加在另一个块的顶部时，这两个块中的方格被认为是相邻的。

五变量SOP卡诺图如图1所示。

五变量POS卡诺图如图2所示。

现在，让我们讨论一些已解决的示例，以了解5变量卡诺图在简化给定的5变量布尔函数（以SOP形式或POS形式）中的应用。

示例1

使用五变量卡诺图，将以下5变量布尔函数以SOP形式简化。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \sum \: m \lgroup 0,1,2,4,7,8,12,14,15,16,17,18,20,24,28,30,31 \rgroup }$$

解决方案

给定SOP布尔函数的SOP卡诺图表示如图3所示。

说明

使用五变量卡诺图（图3）最小化给定的5变量布尔函数，步骤如下：

卡诺图中没有孤立的1。

最小项m₀可以与m₄、m₈、m₁₂、m₁₆、m₂₀、m₂₄和m₂₈形成一个8方格。因此，将其标记并读取为：

$$\mathrm{\lgroup \overline{D} \: \overline{E} \rgroup}$$

最小项m₀、m₁、m₁₆和m₁₇形成一个4方格。将其标记并读取为：

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \rgroup}$$

最小项 m₀、m₂、m₁₆ 和 m₁₈ 构成一个 4 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{E} \rgroup}$$

最小项 m₇ 和 m₁₅ 构成一个 2 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{A}CDE \rgroup}$$

最小项 m₁₄、m₁₅、m₃₀ 和 m₃₁ 构成一个 4 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup BCD \rgroup}$$

最后，将所有乘积项写成 SOP 形式。

因此，给定 5 变量布尔函数的最小 SOP 表达式为：

$$\mathrm{f(A,B,C,D,E) \ = \: \overline{A}CDE \: + \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \: + \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{E} \: + \: BCD \: + \: \overline{D} \: \overline{E}}$$

示例 2

使用五变量卡诺图，将以下 5 变量布尔函数最小化成 POS 形式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \prod \: M \lgroup 3,5,6,9,10,11,13,19,21,22,23,25,26,27,29 \rgroup}$$

解决方案

给定 POS 布尔函数的 POS 卡诺图表示如图 4 所示。

说明

使用五变量卡诺图（图 4）对给定 5 变量布尔函数进行最小化，按照以下步骤进行 -

卡诺图中没有孤立的 0。

最大项 M₉、M₁₃、M₂₅ 和 M₂₉ 构成一个 4 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup}$$

最大项 M₃、M₁₁、M₁₉ 和 M₂₇ 构成一个 4 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup C \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup}$$

最大项 M₅、M₁₃、M₂₁ 和 M₂₉ 构成一个 4 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{C} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup}$$

最大项 M₆ 和 M₂₂ 构成一个 2 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: E \rgroup}$$

最大项 M₁₀、M₁₁、M₂₆ 和 M₂₇ 构成一个 4 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: + \: C \: + \: \overline{D} \rgroup}$$

最大项 M₂₂ 和 M₂₃ 构成一个 2 方块。将其合并并读取为 -

$$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \ + \: \overline{D} \rgroup}$$

最后，将所有和项写成 POS 形式。

因此，给定五变量布尔函数的最小 POS 表达式为：

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \lgroup \overline{B} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup C \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup \overline{C} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: E \rgroup \lgroup \overline{B} \: + \: C \: + \: \overline{D} \rgroup \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \rgroup}$$

卡诺图数值问题

尝试解决以下数值问题，以更好地掌握使用五变量卡诺图简化布尔表达式的技巧。

Q1. 使用卡诺图，将以下五变量布尔表达式简化成 SOP 形式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \sum m \lgroup 0,3,4,6,8,10,11,12,15,17,18,22,25,26,27,30,31 \rgroup }$$

Q2. 使用卡诺图，将以下五变量布尔表达式简化成 POS 形式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \prod \: M\lgroup 0,1,2,4,6,7,9,10,11,13,15,16,18,19,25,26,28,29,31 \rgroup }$$

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结论

以上内容就是关于五变量卡诺图的全部内容。从上述讨论中，我们可以得出结论：可以使用 5 变量卡诺图将五变量布尔函数简化成最小形式。五变量卡诺图有 32 个方块或单元格，从 0 到 31。这 32 个单元格被分成两个块，每个块 16 个单元格。但是，五变量卡诺图分成两个块的形式使其在用于最小化布尔函数时略显复杂。