数字电子技术 - 德摩根定理

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在布尔代数中，定义了若干规则用于在数字逻辑电路中执行运算。布尔代数是一种用于对二进制数字（即0和1）执行运算的工具。这两个二进制数字0和1分别用于表示数字电路在输入和输出端的FALSE和TRUE状态。布尔代数由乔治·布尔创立，它使用0和1来创建数字电路（如与门、或门、非门等）的真值表和逻辑表达式，这些表达式用于分析和简化复杂的电路。

还有一位英国数学家奥古斯都·德摩根，他分别将与非运算和或非运算解释为非与运算和非或运算。这种解释被称为德摩根定理。在本教程中，我们将详细讨论德摩根定理。

什么是德摩根定理？

德摩根定理是布尔代数中一个强大的定理，它包含一组两条规则或定律。这两条定律的制定是为了展示两个变量的与、或和非运算之间的关系。这两条规则使变量能够取反，即与其原始形式相反。因此，德摩根定理给出了逻辑函数的对偶。

现在，让我们来讨论德摩根定理的两条定律。

德摩根第一定理（定律1）

德摩根第一定律指出，变量的和（或运算）的补等于其各个补的积（与运算）。换句话说，两个或多个变量或运算的补等价于每个变量的补的与运算，即：

$$\mathrm{\overline{A+B} \: = \: \bar{A} \cdot \bar{B}}$$

或者，它也可以表示为：

$$\mathrm{\lgroup A \: + \: B \rgroup' \: = \: A'\cdot B'}$$

该定律左右两边的逻辑实现如图1所示。

因此，德摩根第一定律证明了或非门等价于带气泡的与门。下表显示了该定律的证明。

此真值表证明了左侧的布尔表达式等价于德摩根第一定律表达式右侧的布尔表达式。

此外，德摩根第一定律可以扩展到任意数量的变量或变量组合。

例如：

$$\mathrm{\overline{A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \: + \: \dotso} \: = \: \bar{A} \: \bar{B} \: \bar{C} \: \bar{D} \: \bar{E} \: \dotso}$$

此外：

$$\mathrm{\overline{ABC \: + \: DE \: + \: FGH \: + \: \dotso}\: = \: \overline{\lgroup ABC \rgroup}.\overline{\lgroup DE \rgroup}.\overline{\lgroup FGH\rgroup}.\dotso}$$

从以上讨论中，我们可以得出结论，德摩根第一定律将表达式从NOT符号下的和形式转换为积形式。

德摩根第二定理（定律2）

德摩根第二定律指出，变量的积（与运算）的补等价于其各个补的和（或运算）。

换句话说，两个或多个变量与运算的补等于每个变量的补的和运算，即：

$$\mathrm{\overline{AB} \: = \: \overline{A} \: + \: \overline{B}}$$

它也可以表示为：

$$\mathrm{\lgroup AB \rgroup' \: = \: A' \: + \: B'}$$

该表达式左右两边的逻辑实现如图2所示。

因此，德摩根第二定律证明了与非门等价于带气泡的或门。下表显示了该定律的证明。

此真值表证明了左侧的布尔表达式等价于德摩根第二定律表达式右侧的布尔表达式。

与第一定律类似，我们可以将德摩根第二定律扩展到任意数量的变量或变量组合。

例如：

$$\mathrm{\overline{ABCDE \dotso} \: = \: \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \: + \: \dotso}$$

并且，对于变量组合：

$$\mathrm{\overline{\lgroup ABC \rgroup} \overline{\lgroup DE \rgroup} \overline{\lgroup FG \rgroup \dotso} \: = \: \overline{ABC} \: + \: \overline{DE} \: + \: \overline{FG}}$$

因此，根据以上讨论，我们可以得出结论，德摩根第二定律将变量或变量组合的乘积形式在非符号下转换为和的形式。

因此，德摩根定律将与运算转换为或运算，将或运算转换为与运算。这个原理称为对偶性。

示例 1

将德摩根定理应用于以下布尔表达式：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB \overline{ \lgroup C \: + \: D \rgroup}EF}}$$

解答

给定的表达式是：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB \overline{ \lgroup C \: + \: D \rgroup}EF}}$$

由于给定的表达式在非符号下具有与运算，因此应用德摩根第二定律，我们得到：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB} \: + \: \lgroup C \: + \: D \rgroup \: + \: \overline{EF}}$$

这是给定表达式的等价式或对偶式。

示例 2

将德摩根定理应用于以下布尔表达式：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB \: + \: \overline{CD}}}$$

解答

给定的表达式是：

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB \: + \: \overline{CD}}}$$

给定的表达式以非符号下的变量和的形式出现，因此应用德摩根第一定律，我们得到该表达式的对偶式。

$$\mathrm{F \: = \: \overline{AB} \cdot \overline{\overline{CD}} \: = \: \overline{AB} \cdot CD}$$

在本章中，我们解释了德摩根定理的两个定律，并展示了它们如何在数字逻辑电路中执行不同的操作。