SOP和POS形式的逻辑表达式

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在关注标准积之和(SSOP)形式和标准和之积(SPOS)形式的逻辑表达式之前，让我们简要介绍一下“积之和”和“和之积”形式。

SOP（积之和）形式

SOP或积之和形式是表达逻辑或布尔表达式的一种形式。在SOP中，输入变量的不同乘积项通过逻辑或运算连接在一起。因此，在SOP形式的情况下，我们首先对输入变量进行逻辑与运算，然后使用逻辑或运算将所有这些乘积项加在一起。

例如：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: ABC \: + \: \bar{A}BC \: + \: AB \bar{C}}$$

这是一个三变量逻辑表达式。这里，ABC、A'BC和ABC'是三个乘积项，将它们加在一起得到SOP形式的表达式。

POS（和之积）形式

POS或和之积形式是用于表示逻辑表达式的另一种形式。在POS形式中，输入变量的不同和项通过逻辑与运算连接在一起。因此，如果我们想用POS形式表达一个逻辑表达式，我们需要首先对所有输入变量进行逻辑或运算，然后使用与运算将这些和项连接起来。

例如：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup A \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup}$$

这里，f是一个三变量逻辑表达式。从这个例子可以看出，有三个和项通过与运算连接在一起，得到给定表达式的POS形式。

现在，让我们详细讨论标准积之和(SSOP)形式和标准和之积(SPOS)形式。

布尔或逻辑表达式可以用两种标准形式表示，即：

• SSOP形式
• SPOS形式

标准积之和(SSOP)形式

标准积之和(SSOP)形式是一种表达逻辑表达式的方式，其中逻辑表达式表示为多个乘积项之和，每个乘积项包含逻辑表达式的所有变量，这些变量可以是反相的或非反相的。

由于SSOP形式的每个乘积项都包含所有变量，因此它也称为展开的积之和形式。SSOP形式也称为析取范式(DCF)或规范积之和形式或标准积之和形式。

我们可以从真值表中简单地得到逻辑表达式的标准积之和形式，方法是确定所有对应于给定逻辑表达式(例如f)值为1的组合的项之和。

我们也可以使用布尔代数从积之和(SOP)形式得到表达式的标准积之和(SSOP)形式。

例如：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B} \: + \: B \bar{C}}$$

这是一个三变量逻辑表达式，但它是用SOP形式表达的。我们可以使用布尔代数将此表达式转换为SSOP形式，如下所示。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B} \lgroup C \: + \: \bar{C} \rgroup \: + \: B \bar{C} \lgroup A \: + \: \bar{A} \rgroup}$$

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B}C \: + \: A \bar{B} \: \bar{C} \: + \: AB \bar{C} \: + \: \bar{A}BC}$$

这是给定逻辑表达式的标准积之和形式。我们可以注意到，在SSOP形式中，每个乘积项都包含逻辑函数的所有变量，这些变量可以是反相的或非反相的。每个这样的乘积项称为最小项。一个n个变量的逻辑函数或表达式最多可以有2ⁿ个最小项。值为1的逻辑表达式最小项之和称为该表达式的标准积之和形式。

标准和之积(SPOS)形式

标准和之积(SPOS)形式是一种表达逻辑函数的方式，其中逻辑表达式表示为多个和项之积，每个和项包含逻辑表达式的所有变量，这些变量可以是反相的或非反相的。

SPOS形式也称为合取范式(CCF)或展开的和之积形式或标准和之积形式或规范和之积形式。

SPOS形式的每一项都是通过考虑输出等于0的变量组合得出的。每一项都是表达式所有变量的和。

在SPOS形式中，如果变量在组合中值为1，则它以反相形式出现；如果它在组合中值为0，则它以非反相形式出现。

在标准和之积形式中，包含函数n个变量中的每一个变量（无论是反相的还是非反相的）的项称为最大项。对于n个变量的逻辑函数，最多可能有2ⁿ个最大项。值为0的逻辑表达式的最大项之积称为该表达式的标准和之积形式。

与SSOP形式类似，我们可以从逻辑表达式的真值表中得到标准和之积形式，方法是确定所有对应于给定逻辑表达式(例如f)值为0的变量组合的和项之积。

此外，可以使用布尔代数得到逻辑表达式的SPOS形式。

例如：

$$ \mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: \bar{C} \rgroup} $$

这是一个包含三个变量的逻辑表达式，但它是以标准与或式(POS)的形式表示的。我们可以通过布尔代数将其转换为标准与或式(SPOS)形式，如下所示。

$$ \mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C\rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \bar{C} \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: \bar{C} \: + \: B \bar{B} \rgroup} $$

$$ \mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup \lgroup A \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup \lgroup A \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C} \rgroup} $$

这是给定逻辑表达式的标准积之和式(SPOS)形式。在这里，我们可以注意到，在SPOS形式中，每个和项都包含逻辑函数的所有变量，这些变量要么是反向的，要么是非反向的。