将POS转换为标准POS形式

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当布尔表达式表示为和项的积时，称为POS（积之和）形式。在POS形式中，表达式的每个和项可能不包含所有变量。

另一方面，当布尔表达式表示为和项的积时，其中每个和项都包含函数的所有变量，则称为标准积之和（SPOS）形式。在标准POS形式中，布尔表达式的每个和项称为最大项。

现在，让我们讨论一下将POS形式的布尔表达式扩展到标准POS形式。

将POS形式的布尔表达式转换为标准POS形式

将POS形式的布尔表达式转换为标准POS形式，步骤如下：

• 写下给定布尔表达式的所有和项。
• 如果任何和项中缺少一个或多个变量，则将每个缺失变量及其补码的乘积添加到该项中。
• 根据布尔代数规则展开这些项。
• 最后，从表达式中删除冗余项。

让我们通过示例来了解将POS形式的布尔表达式转换为标准POS形式。

示例1

将以下3变量POS形式的布尔表达式转换为其标准POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}\rgroup.\lgroup \overline{B}+C\rgroup.\lgroup A+\overline{C}\rgroup}$$

解答

给定的布尔函数为：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}\rgroup.\lgroup \overline{B}+C\rgroup.\lgroup A+\overline{C}\rgroup}$$

给定的布尔表达式处于POS形式。其中，第一个项缺少变量C，第二个项缺少变量A，第三个项缺少变量B。

因此，要将此给定函数转换为其SPOS形式，我们将把缺失变量及其补码的乘积添加到函数的每一项中，即

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}+C\overline{C} \rgroup.\lgroup \overline{B}+C+A\overline{A}\rgroup.\lgroup A+\overline{C}+B\overline{B} \rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}+C\rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{C} \rgroup\lgroup A+\overline{B}+C\rgroup\lgroup \overline{A}+\overline{B}+C\rgroup\lgroup A+B+\overline{C} \rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{C} \rgroup}$$

删除冗余项后，我们得到：

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}+C\rgroup\lgroup \overline{A}+\overline{B}+C\rgroup\lgroup A+B+\overline{C}\rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$$

这是给定布尔函数的标准POS形式。

示例2

将以下4变量布尔函数转换为其标准POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\lgroup A+C+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} \rgroup.\lgroup A+\overline{C}+D\rgroup}$$

解答

给定函数处于POS形式：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\lgroup A+C+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} \rgroup.\lgroup A+\overline{C}+D\rgroup}$$

这里，第一项和第三项缺少变量B，第二项缺少变量C。因此，为了获得函数的标准POS形式，我们将添加缺失变量及其补码的乘积，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\lgroup A+C+D+B\overline{B} \rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D}+C\overline{C} \rgroup.\lgroup A+\overline{C}+D+B\overline{B} \rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\lgroup A+B+C+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+C+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+C+\overline{D} \rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}+\overline{D}\rgroup.\lgroup A+B+\overline{C}+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}+D\rgroup}$$

由于表达式中没有冗余项。因此，这是给定布尔函数的标准POS形式。

示例3

将以下2变量布尔函数转换为标准POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\overline{A}.\lgroup A+\overline{B}\rgroup.B}$$

解答

给定的布尔函数为：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\overline{A}.\lgroup A+\overline{B}\rgroup.B}$$

此函数处于POS形式，具有三个和项，其中第一项缺少变量B，第三项缺少变量A。因此，要将其转换为标准POS形式，我们将把变量及其补码的乘积添加到该项中，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\lgroup \overline{A}+B\overline{B}\rgroup.\lgroup A+\overline{B} \rgroup.\lgroup A\overline{A}+B\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\lgroup \overline{A}+B\rgroup\lgroup\overline{A}+\overline{B} \rgroup\lgroup A+\overline{B}\rgroup\lgroup A+B\rgroup\lgroup \overline{A}+B\rgroup}$$

从表达式中删除冗余项后，我们得到：

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\lgroup \overline{A}+B\rgroup\lgroup\overline{A}+\overline{B} \rgroup\lgroup A+\overline{B}\rgroup\lgroup A+B\rgroup}$$

这是给定布尔表达式的标准POS形式。

数值问题

Q 1. − 将以下3变量POS形式的布尔表达式转换为其标准POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+B\rgroup\lgroup A+\overline{B}\rgroup\lgroup \overline{B}+C\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

Q 2. − 将以下4变量POS形式的布尔表达式转换为其标准POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D \rgroup=\lgroup A+B+\overline{C} \rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} \rgroup\lgroup \overline{A}+\overline{B}+D \rgroup\lgroup A+C+\overline{D} \rgroup}$$

问 3. − 将以下二变量布尔函数转换为标准积之和形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B \rgroup=\lgroup A+B \rgroup.A}$$

结论

本文主要介绍了布尔表达式从积之和（POS）形式转换为标准积之和（SPOS）形式。