数字电子技术 - 二进制算术

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二进制算术是数字电子技术和计算机工程领域的基本概念之一。它基本上是二进制数的数学运算，允许对二进制数执行各种算术运算。我们知道二进制数系统有两个数字，即0和1，它们用于表示数字系统的开或关状态。因此，二进制算术构成了数字计算的基础。

在本章中，我们将讨论以下四个主要的二进制算术运算：

• 二进制加法
• 二进制减法
• 二进制乘法
• 二进制除法

让我们详细讨论每个二进制算术运算，并附带解题示例。

二进制加法

在二进制算术中，将两个二进制数相加的过程称为二进制加法。其中，二进制数仅由0和1组成。在二进制加法中，当和大于1时会产生进位。

二进制加法规则

两个二进制数的加法根据以下二进制算术规则进行：

$$\mathrm{0 \: + \: 0 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{0 \: + \: 1 \: = \: 1}$$

$$\mathrm{1 \: + \: 0 \: = \: 1}$$

$$\mathrm{1 \: + \: 1 \: = \: 10 \: (和 \: = \: 0 \: \& \: 进位 \: = \: 1)}$$

让我们来看一些例子来理解二进制加法。

例1

将两个二进制数1101和1110相加。

解答

给定二进制数的二进制加法如下所示：

解释

将1（第一个数的最右位）和0（第二个数的最右位）相加。结果为1 + 0 = 1（因此，将1写为和位）。

将0（第一个数的第二右位）和1（第二个数的第二右位）相加。结果为0 + 1 = 1（将1写为和位）。

将1（第一个数的第三右位）和1（第二个数的第三右位）相加。结果为1 + 1 = 10（将0写为和，1写为进位）。

将1（第一个数的最左位）、1（第二个数的最左位）和1（进位）相加。结果为1 + 1 + 1 = 11（将1写为和，1写为进位）。

将最后的进位1写在和中。

因此，结果是11011。

例2

将1010和11011相加。

解答

给定数字的二进制加法解释如下：

解释

将0（第一个数的最右位）和1（第二个数的最右位）相加。结果为0 + 1 = 1（将1写为和）。

将1（第一个数的第二右位）和1（第二个数的第二右位）相加。结果为1 + 1 = 10（将0写为和，1写为进位）。

将0（第一个数的第三右位）、0（第二个数的第三右位）和1（进位）相加。结果为0 + 0 + 1 = 1（将1写为和）。

将1（第一个数的最左位）和1（第二个数的第二左位）相加。结果为1 + 1 = 10（将0写为和，1写为进位）。

将1（第二个数的最左位）和1（进位）相加。结果为1 + 1 = 10（将0写为和，1写为最后的进位）。

因此，1010和11011的和是100101。

二进制减法

在二进制算术中，二进制减法是用于求两个二进制数之差的数学运算。

在二进制减法中，从最右位开始，减去二进制数的每一位。

如果需要，可以从高位借位。

二进制减法规则

二进制减法根据以下二进制算术规则进行：

$$\mathrm{0 \: – \: 0 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{1 \: – \: 0 \: = \: 1}$$

$$\mathrm{0 \: – \: 1 \: = \: 1 \: (从下一高位借1)}$$

$$\mathrm{1 \: – \: 1 \: = \: 0}$$

让我们来看一些例子来理解二进制减法。

例1

从1101中减去1100。

解答

给定二进制数的减法如下所示：

1101 – 1100 = 0001

解释

从1（第一个数的最右位）减去0（第二个数的最右位）。结果为1 – 0 = 1（将1写为差）。

从0（第一个数的第二右位）减去0（第二个数的第二右位）。结果为0 – 0 = 0。

从1（第二个数的第三右位）减去1（第一个数的第三右位）。结果为1 – 1 = 0。

从1（第二个数的最左位）减去1（第一个数的最左位）。结果为1 – 1 = 0。

因此，1101和1100的差是0001。

例2

从1111中减去101。

解答

给定二进制数的减法解释如下：

解释

减去最右位：1 – 1 = 0

减去第二右位：1 – 0 = 1

减去第三右位：1 – 0 = 1

减去最左位：1 – 0 = 1

因此，结果是1010。

例3

从1101中减去1011。

解答

1101和1011的二进制减法如下所示：

解释

减去最右位：1 – 1 = 0。

减去第二右位：0 – 1 = 1。从下一高位借1。

减去第三右位：1 – 0 = 1。将借来的1给前一位。

减去最左位：1 – 1 = 0。

因此，1101和1011的差是0010。

二进制乘法

在二进制算术中，二进制乘法是将两个二进制数相乘并得到其积的过程。

在二进制乘法中，我们将一个二进制数的每一位与另一个二进制数的每一位相乘，然后将部分积相加得到最终的乘积。

二进制乘法的规则

两个二进制数的乘法根据以下二进制运算规则进行：

$$\mathrm{0 \: \times \: 0 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{0 \: \times \: 1 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{1 \: \times \: 0 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{1 \: \times \: 1 \: = \: 1}$$

很明显，二进制乘法类似于十进制乘法。让我们通过一些例题来理解二进制乘法。

例1

将 1101 乘以 11。

解答

给定数字的二进制乘法如下所示：

解释

将第二个数的最右位 1 与第一个数 (1101) 的每一位相乘。

现在，将部分积左移一位以进行下一次乘法。

将第二个数的最左位 1 与第一个数 (1101) 的每一位相乘。

最后，将所有部分积相加得到最终的乘积。

因此，1101 和 11 的乘积是 100111。

例2

将 11011 乘以 110。

解答

给定二进制数的乘法如下所示：

解释

将第二个数的最右位 (0) 与第一个二进制数 (11011) 的每一位相乘。

将部分积左移一位。

将第二个数的次右位 (1) 与第一个二进制数 (11011) 的每一位相乘。

再次将部分积左移一位。

将第二个数的最左位 (1) 与第一个数的每一位相乘。

然后，将所有部分积相加得到最终的乘积。

因此，11011 和 110 的乘积是 10100010。

二进制除法

二进制除法是用于查找将一个二进制数除以另一个二进制数时的商和余数的基本算术运算之一。

二进制除法的规则

将一个二进制数除以另一个二进制数时，使用以下二进制运算规则：

$$\mathrm{0 \: \div \: 0 \: = \: 未定义}$$

$$\mathrm{0 \: \div \: 1 \: = \: 0 \: 余数 \: = \: 0}$$

$$\mathrm{1 \: \div \: 0 \: = \: 未定义}$$

$$\mathrm{1 \: \div \: 1 \: = \: 1 \: 余数 \: = \: 0}$$

二进制除法步骤

• 从被除数的最左位开始除以除数。
• 将得到的商乘以除数，然后从被除数中减去。
• 将被除数的下一位降下来，重复除法过程，直到使用所有给定的被除数位。

让我们考虑一些例题来理解二进制除法。

例1

将 110011 除以 11。

解答

给定二进制数的除法解释如下：

110011 ÷ 11 = 10001

在这个二进制除法的例子中，得到的商是 10001，余数是 0。

例2

将 11011 除以 10。

解答

11011 除以 10 的二进制除法解释如下：

11011 ÷ 10 = 1101

在这个例子中，商是 1101，余数是 1。

结论

二进制运算涉及对二进制数执行的算术运算。通常，对二进制数执行四种基本算术运算，即加法、减法、乘法和除法。

在本章中，我们解释了执行所有四种基本二进制算术运算的规则和步骤，并附带例题。