数字电子技术中的六变量卡诺图

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阅读本章，了解如何使用卡诺图 (Karnaugh Map) 简化六变量布尔函数。让我们从简要介绍卡诺图 (K-Map) 开始。

卡诺图 (K-Map)

卡诺图或K-Map是一种将布尔函数简化为最小形式的图形方法。卡诺图可以定义为一个图表或图形，它由相邻的方格或单元格组成，每个单元格代表布尔表达式变量的特定组合，以和式或积式形式表示。一个典型的二变量卡诺图如图1所示。

在实际应用中，我们通常使用最多6个变量的卡诺图。但是，卡诺图可以用于任意数量的变量，但对于5个或更多变量，它会变得繁琐。

现在，让我们讨论六变量卡诺图及其用于将布尔函数简化为最小形式的应用。

六变量卡诺图

六变量卡诺图用于简化六个变量（例如A、B、C、D、E、F）的布尔表达式。它有64 (2⁶) 个相邻单元格或方格。其中，每个单元格代表函数的变量组合。

对于SOP形式的6变量布尔函数，输入变量的可能组合如下：

$$\mathrm{\bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D}\bar{E}\bar{F}, \: \bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D}\bar{E}F, \: \bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D}E\bar{F}, \: \dots \: ABCDEF}$$

这些变量组合的最小项表示分别为m₀、m₁、m₂ … m₆₃。

类似地，对于POS形式的6变量布尔函数，输入变量的可能组合如下：

$$\mathrm{\left ( A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \: + \: F \right ), \: \left ( A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \: + \: \bar{F} \right ), \: \left ( A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: \bar{E} \: + \: F \right ), \: \dots \: \left ( \bar{A} \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C} \: + \: \bar{D} \: + \: \bar{E} \: + \: \bar{F} \right )}$$

这些变量组合的最大项表示分别为M₀、M₁、M₂、... M₆₃。

如前所述，六变量卡诺图有64个单元格，它们被分成4个16个方格的块。卡诺图上的每个单元格代表一个最小项或最大项。对于6变量卡诺图，变量A和B的值在每个16个方格的块中对所有最小项（或最大项）保持不变。

六变量卡诺图的64个单元格分为4个块，如下所示：

块1 - 这是左上角的块。此块代表最小项m₀到m₁₅（或最大项M₀到M₁₅）。在此块中，变量A为0，变量B也为0。

块2 - 这是右上角的块。此块代表最小项m₁₆到m₃₁（或最大项M₁₆到M₃₁）。在此块中，变量A为0，变量B为1。

块3 - 这是左下角的块。此块代表最小项m₃₂到m₄₇（或最大项M₃₂到M₄₇）。在此块中，变量A为1，变量B为0。

块4 - 这是右下角的块。此块代表最小项m₄₈到m₆₃（或最大项M₄₈到M₆₃）。在此块中，变量A为1，变量B也为1。

在简化过程中，6变量卡诺图可能包含2个方格、4个方格、8个方格、16个方格、32个方格或64个方格，这涉及卡诺图的所有四个块。

在六变量卡诺图中，当一个块叠加在另一个块的顶部，该块位于第一个块的上方、下方或旁边，并且方格相互重合时。则认为这两个块中的方格相邻。同样重要的是要注意，对角线元素，例如m₁₀和m₅₈、m₁₅和m₆₃、m₁₈和m₃₄、m₂₉和m₄₅，彼此不相邻。

图2显示了六变量SOP卡诺图。

图3显示了六变量POS卡诺图。

现在，让我们了解如何利用六变量卡诺图通过已解决的数值示例来最小化六变量布尔函数。

示例1

使用卡诺图最小化以下6变量布尔函数。

$$f = \sum m(1, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 35, 36, 38, 41, 43, 44, 46, 49, 51, 52, 54, 57, 59, 60, 62)$$

解答

给定布尔函数的6变量SOP卡诺图表示如图4所示。

此函数的化简按照以下步骤进行：

卡诺图中没有孤立的1。

最小项m₁与最小项m₃、m₉、m₁₁、m₁₇、m₁₉、m₂₅、m₂₇、m₃₃、m₃₅、m₄₁、m₄₃、m₄₉、m₅₁、m₅₇和m₅₉构成一个16方格。将其合并，读作：

$$ \bar{D}F $$

最小项m₄与最小项m₆、m₁₂、m₁₄、m₂₀、m₂₂、m₂₈、m₃₀、m₃₆、m₃₈、m₄₄、m₄₆、m₅₂、m₅₄、m₆₀和m₆₂构成一个16方格。将其合并，读作：

$$ \bar{F}D $$

最小项m₅可以与最小项m₄、m₂₀和m₂₁构成一个4方格，或者与m₁、m₁₇和m₂₁构成一个4方格。我们将选择与最小项m₄、m₂₀和m₂₁构成4方格，读作：

$$ \bar{A}\bar{C}D\bar{E} $$

最小项m₂₁与最小项m₁₇、m₁₉和m₂₃构成一个4方格。将其合并，读作：

$$ \bar{A}B\bar{C}F $$

最小项m₁₅可以与最小项m₁₁或m₁₄构成一个2方格。我们将选择与m₁₄构成2方格，读作：

$$ \bar{A}\bar{B}CDE $$

将所有积项写成SOP形式。

因此，最简SOP表达式为：

$$ f(A,B,C,D,E,F) = \bar{D}F + D\bar{F} + \bar{A}\bar{C}D\bar{E} + \bar{A}B\bar{C}F + \bar{A}\bar{B}CDE $$

例2

使用卡诺图化简以下六变量布尔函数。

$$ f = \Pi M(0, 2, 7, 8, 10, 13, 16, 18, 24, 26, 29, 31, 32, 34, 37, 39, 40, 42, 45, 47, 48, 50, 53, 55, 56, 58, 61, 63) $$

解答

给定布尔函数的6变量POS卡诺图表示如图5所示。

此函数的化简按照以下步骤进行：

卡诺图中没有孤立的0。

最大项M₀与最大项M₂、M₈、M₁₀、M₁₆、M₁₈、M₂₄、M₂₆、M₃₂、M₃₄、M₄₀、M₄₂、M₄₈、M₅₀、M₅₆、M₅₈构成一个16方格。将其合并，读作：

$$ (D + F) $$

最大项M₃₇与最大项M₃₉、M₄₅、M₄₇、M₅₃、M₅₅、M₆₁和M₆₃构成一个8方格。将其合并，读作：

$$ (\bar{A} + \bar{D} + \bar{F}) $$

最大项M₁₃与最大项M₂₉、M₄₅和M₆₁构成一个4方格。将其合并，读作：

$$ (\bar{C} + \bar{D} + E + \bar{F}) $$

最大项M₃₁与M₂₉、M₆₁和M₆₃构成一个4方格。将其合并，读作：

$$ (\bar{B} + \bar{C} + \bar{D} + \bar{F}) $$

最大项M₇与最大项M₃₉构成一个2方格。将其合并，读作：

$$ (B + C + E + \bar{D} + \bar{E} + \bar{F}) $$

将所有和项写成POS形式。

因此，给定布尔函数的最简POS表达式为：

$$ f(A,B,C,D,E,F) = (D + F)(\bar{A} + \bar{D} + \bar{F})(\bar{C} + \bar{D} + E + \bar{F})(\bar{B} + \bar{C} + \bar{D} + \bar{F})(B + C + E + \bar{D} + \bar{E} + \bar{F}) $$

这就是关于六变量卡诺图及其在布尔函数化简中的应用的全部内容。尝试解决以下练习题，以精通六变量卡诺图及其在化简布尔表达式中的应用。

卡诺图数值题

问1 - 使用卡诺图以SOP形式化简以下六变量布尔函数。

$$ f(A,B,C,D,E,F) = \sum m(1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 25, 26, 31, 32, 34, 36, 37, 39, 40, 42, 45, 49, 50, 53, 54, 57, 60, 61, 63) $$

问2 - 使用卡诺图以POS形式化简以下六变量布尔函数。

$$ f(A,B,C,D,E,F) = \Pi M(0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 42, 45, 47, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 59, 60, 62) $$