有符号二进制运算

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在本章中，我们将讨论基本算术运算，这些运算可以使用2的补码方法对任何两个有符号二进制数执行。**基本算术运算**包括加法和减法。

两个有符号二进制数的加法

考虑两个以2的补码形式表示的有符号二进制数A和B。我们可以执行这两个数的**加法**，这类似于两个无符号二进制数的加法。但是，如果结果和包含来自符号位的进位，则为了获得正确的值，请将其丢弃（忽略）。

如果结果和为正，则可以直接找到其大小。但是，如果结果和为负，则取其2的补码以获得其大小。

示例1

让我们使用2的补码方法执行两个十进制数**+7和+4**的**加法**。

下面显示了+7和+4分别用5位表示的**2的补码**。

$$\mathrm{(+7)_{10} \: = \: (00111)_{2}}$$

$$\mathrm{(+4)_{10} \: = \: (00100)_{2}}$$

这两个数的加法是

$$\mathrm{(+7)_{10} \: + \: (+4)_{10} \: = \: (00111)_{2} \: + \: (00100)_{2}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \: (+7)_{10} \: + \: (+4)_{10} \: = \: (01011)_{2}}$$

结果和包含5位。因此，没有来自符号位的进位。符号位“0”表示结果和为**正**。因此，和的大小在十进制数系统中为11。因此，两个正数的加法将得到另一个正数。

示例2

让我们使用2的补码方法执行两个十进制数**-7**和**-4**的**加法**。

下面显示了-7和-4分别用5位表示的**2的补码**。

$$\mathrm{(−7)_{10} \: = \: (11001)_{2}}$$

$$\mathrm{(−4)_{10} \: = \: (11100)_{2}}$$

这两个数的加法是

$$\mathrm{(−7)_{10} \: + \: (−4)_{10} \: = \: (11001)_{2} \: + \: (11100)_{2}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \: (−7)_{10} \: + \: (−4)_{10} \: = \: (110101)_{2}}$$

结果和包含6位。在这种情况下，从符号位获得进位。因此，我们可以将其删除

删除进位后的结果和为(−7)₁₀ + (−4)₁₀ = (10101)₂。

符号位“1”表示结果和为**负**。因此，通过取其2的补码，我们将得到结果和的大小在十进制数系统中为11。因此，两个负数的加法将得到另一个负数。

两个有符号二进制数的减法

考虑两个以2的补码形式表示的有符号二进制数A和B。我们知道正数的2的补码得到一个负数。因此，每当我们必须从数A中减去数B时，取B的2的补码并将其加到A。因此，**数学上**我们可以写成

A - B = A + (B的2的补码)

类似地，如果我们必须从数B中减去数A，则取A的2的补码并将其加到B。因此，**数学上**我们可以写成

B - A = B + (A的2的补码)

因此，两个有符号二进制数的减法类似于两个有符号二进制数的加法。但是，我们必须取要减去的数的2的补码。这是2的补码技术的**优点**。遵循两个有符号二进制数加法的相同规则。

示例1

让我们使用2的补码方法执行两个十进制数**+7和+4**的**减法**。

这两个数的减法是

$$\mathrm{(+7)_{10} \: − \: (+4){10} \: = \: (+7)_{10} \: + \: (−4)_{10}}$$

下面显示了+7和-4分别用5位表示的**2的补码**。

$$\mathrm{(+7)_{10} \: = \: (00111)_{2}}$$

$$\mathrm{(+4)_{10} \: = \: (11100)_{2}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \: (+7)_{10} \: + \: (+4)_{10} \: = \: (00111)_{2} \: + \: (11100)_{2} \: = \: (00011)_{2}}$$

这里，从符号位获得进位。因此，我们可以将其删除。删除进位后的结果和为

$$\mathrm{(+7)_{10} \: + \: (+4)_{10} \: = \: (00011)_{2}}$$

符号位“0”表示结果和为**正**。因此，其大小在十进制数系统中为3。因此，十进制数+7和+4的减法为+3。

示例2

让我们使用2的补码方法执行两个十进制数**+4**和**+7**的**减法**。

这两个数的减法是

$$\mathrm{(+4)_{10} \: − \: (+7)_{10} \: = \: (+4)_{10} \: + \: (−7)_{10}}$$

下面显示了+4和-7分别用5位表示的**2的补码**。

$$\mathrm{(+4)_{10} \: = \: (00100)_{2}}$$

$$\mathrm{(-7)_{10} \: = \: (11001)_{2}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \: (+4)_{10} \: + \: (-7)_{10} \: = \: (00100)_{2} \: + \: (11001)_{2} \: = \: (11101)_{2}}$$

这里，没有从符号位获得进位。符号位“1”表示结果和为**负**。因此，通过取其2的补码，我们将得到结果和的大小在十进制数系统中为3。因此，十进制数+4和+7的减法为-3。