卡诺图中的无关项

---

---

卡诺图或卡诺图是一种简化布尔表达式的图形方法。卡诺图由相邻方块或单元格的排列组成，其中每个单元格代表以和或积的形式表示的变量的特定组合。

在卡诺图方法中，存在一个有用的条件，即无关项条件，它有助于简化布尔函数。无关项条件使卡诺图中变量的组合变得容易。在本教程中，我们将借助解决的示例来了解卡诺图化简中的“无关项”概念。

有时，在布尔表达式的某些输入组合中，输出的值未指定，这可能是由于无效的输入组合或输出的精确值无关紧要。这些未指定布尔函数值的输入组合称为无关项组合。无关项组合也称为可选组合。在卡诺图中，无关项组合用“X”或“d”或“ϕ”表示。

例如，在8421二进制码中，二进制组合1010、1011、1100、1101、1110和1111是无效项，它们对应的输出是无关项组合。类似地，在余3码中，组合0000、0001、0010、1101、1110和1111不会出现，因此这些称为无关项组合。

当我们处理SOP（积之和）卡诺图时，如果每个无关项有助于表达式的化简，则将其视为1，否则将其视为0并保留。

另一方面，当我们使用POS（和之积）卡诺图时，如果每个无关项有助于表达式的化简，则将其视为0，否则将其视为1并保留。

此外，我们可以通过保留无关项，并将SOP标准形式（SSOP）表达式中缺少的最小项写为POS标准形式（SPOS）表达式中的最大项，将带有无关项的SOP标准形式（SSOP）表达式转换为POS标准形式（SPOS）表达式。

类似地，我们可以通过保留SPOS表达式中的无关项，并将SPOS表达式中缺少的最大项写为SSOP表达式中的最小项，将带有无关项的POS标准形式（SPOS）表达式转换为SOP标准形式（SSOP）表达式。

现在，让我们讨论一些已解决的示例，以了解卡诺图中的无关项条件。

示例1

使用卡诺图将以下4变量布尔表达式最小化为SOP形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\sum m \lgroup 0,1,4,5,6,10,13\rgroup +d \lgroup 2,3 \rgroup}$$

解决方案

给定布尔函数的SOP卡诺图表示如图1所示。

如给定表达式所示，有两个无关项，在卡诺图上用X表示。

解释

表达式的化简按以下步骤进行：

• 最小项m₀、m₁、m₄和m₅形成一个4方格。将其组合并读取为$\mathrm{\lgroup \bar{A} \: \bar{C}\rgroup}$。
• 最小项m₁₀和m₁₁与两个无关项m₂和m₃形成一个4方格。将其组合并读取为$\mathrm{\bar{B}C}$。
• 最小项m₀、m₄、m₆和无关项m₂一起形成一个4方格。将其组合并读取为$\mathrm{\bar{A} \: \bar{D}}$。
• 最小项m₅和m₁₃形成一个2方格。将其组合并读取为$\mathrm{B\bar{C}D}$。
• 最后，将所有积项写成SOP形式。

因此，最小的布尔表达式为：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \bar{A} \: \bar{C} \: + \: \bar{B}C \: + \: \bar{A} \: \bar{D} \: + \: B \bar{C}D}$$

示例2

使用卡诺图将以下4变量布尔表达式最小化为POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \prod M \lgroup 1,5,6,12,13,14 \rgroup \: + \: d \lgroup 2,4 \rgroup}$$

解决方案

给定布尔函数的POS卡诺图表示如图2所示。

表达式中有两个无关项，在卡诺图上用X表示。

解释

给定函数的化简按以下步骤进行：

• 最大项M₅、M₁₂和M₁₃以及无关项M₄形成一个4方格。将其组合并读取为$\mathrm{\bar{B} \: + \: C}$。
• 最大项M₆、M₁₂和M₁₄以及无关项M₄形成一个4方格。将其组合并读取为$\mathrm{\bar{B} \: + \: D}$。
• 最大项M₁和M₅形成一个2方格。将其组合并读取为$\mathrm{A \: + \: C \: + \: \bar{D}}$
• 将所有和项写成POS形式。

因此，最小的布尔表达式为：

$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \lgroup \bar{B} \: + \: C \rgroup \: + \: \lgroup \bar{B} \: + \: D \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: C \: + \: \bar{D} \rgroup}$$

结论

这就是卡诺图中的无关项条件。正如我们在本教程的前面部分所讨论的，无关项条件是一个重要且强大的概念，它有助于使用卡诺图最小化布尔函数。