布尔代数定律

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布尔代数是一种数学工具，它处理逻辑运算和二进制数系统。它是数字电子和计算机科学的基础。

布尔代数中的定律和规则是一组逻辑语句或表达式，所有逻辑表达式都是基于它们构建的。布尔代数的每个定律都可以解释为由逻辑电路（如逻辑门）执行的操作。

在本章中，我们将学习布尔代数的定律和规则，这些规则用于简化逻辑函数和布尔表达式。这些定律和规则是布尔代数中必不可少的工具，有助于降低复杂度并优化数字电路和系统。

让我们详细了解布尔代数的主要定律和规则，这些规则用于执行逻辑运算。

布尔代数定律

下面解释了布尔代数的所有重要定律和规则。

逻辑运算规则

有三种基本的逻辑运算，即与、或和非。下表突出显示了与这三种逻辑运算相关的规则。

这些布尔代数规则可以使用逻辑门来实现。

与定律

在布尔代数中，有以下四个与定律。

• 定律1 − A · 0 = 0（此定律称为零律）。
• 定律2 − A · 1 = A（此定律称为恒等律）。
• 定律3 − A · A = A
• 定律4 − A · A' = 0

或定律

下面描述了四个或定律。

• 定律1 − A + 0 = A（此定律称为零律）。
• 定律2 − A + 1 = 1（此定律称为恒等律）。
• 定律3 − A + A = A
• 定律4 − A + A' = 1

补码定律

在布尔代数中，有以下五个补码定律。

• 定律1 − 0' = 1
• 定律2 − 1' = 0
• 定律3 − 如果 A = 0，则 A' = 1
• 定律4 − 如果 A = 1，则 A' = 0
• 定律5 − (A')' = A（这称为双重补码定律）

交换律

在布尔代数中，有以下两个交换律。

定律1 − 根据此定律，A OR B 运算产生的输出与 B OR A 运算产生的输出相同，即

A + B = B + A

因此，变量的顺序不影响或运算。

此定律可以扩展到任意数量的变量。例如，对于三个变量，它将是：

A + B + C = C + B + A = B + C + A = C + A + B

定律2 − 根据此定律，A AND B 运算的输出与 B AND A 运算的输出相同，即

A · B = B · A

此定律指出，变量进行与运算的顺序不影响结果。

我们可以将此定律扩展到任意数量的变量。例如，对于三个变量，我们得到：

A · B · C = A · C · B = C · B · A = C · A · B

结合律

结合律定义了变量分组的方式。有两个结合律，如下所述。

定律1 − 表达式 A OR B 与 C 进行或运算的结果与 A 与 B OR C 进行或运算的结果相同，即

(A + B) + C = A + (B + C)

此定律可以扩展到任意数量的变量。例如，对于4个变量，我们得到：

(A + B + C) + D = A + (B + C + D) = (A + B) + (C + D)

定律2 − 表达式 A AND B 与 C 进行与运算的结果与表达式 A 与 B AND C 进行与运算的结果相同，即

(A · B) · C = A · (B · C)

我们可以将此定律扩展到任意数量的变量。例如，如果我们有4个变量，那么

(ABC)D = A(BCD) = (AB)·(CD)

分配律

在布尔代数中，有以下两个分配律，允许对表达式进行乘法或因式分解。

定律1 − 根据此定律，我们对多个变量进行或运算，然后将结果与单个变量进行与运算。

它给出的结果与将单个变量与多个变量中的每一个进行与运算，然后将乘积项进行或运算的表达式的结果相同，即

A · (B + C) = AB + AC

我们可以将此定律扩展到任意数量的变量。例如：

A(BC + DE) = ABC + ADE

AB(CD + EF) = ABCD + ABEF

定律2 − 根据此定律，如果我们对多个变量进行与运算，然后将结果与单个变量进行或运算。

它给出的结果与将单个变量与多个变量中的每一个进行或运算，然后将和项进行与运算的结果相同，即

A + BC = (A + B)(A + C)

证明 − 此定律的证明如下所示：

RHS = (A + B)(A + C)

= AA + AB + AC + BC

= A + AB + AC + BC

= A (1 + B + C) + BC

因为：

1 + B + C = 1 + C = 1

所以：

A · 1 + BC = A + BC = LHS

冗余文字规则 (RLR)

在此规则下，布尔代数中有两个定律，这里解释如下。

定律1 − 根据此定律，如果我们对一个变量与该变量的补码和另一个变量的与运算进行或运算。那么，它与两个变量的或运算相同，即

A + A’B = A + B

证明 − 此定律的证明如下所示：

LHS = A + A’B = (A + A’)(A + B)

= 1 · (A + B) = A + B = RHS

定律2 − 根据此定律，如果我们对一个变量与该变量的补码和另一个变量的或运算进行与运算，则它等效于我们对两个变量进行与运算，即

A(A’ + B) = AB

证明 − 此定律可以证明如下：

LHS = A(A’ + B) = AA’ + AB

= 0 + AB = AB = RHS

这两个定律都表明，出现在另一个术语中的术语的补码是冗余的。因此，该规则被称为冗余文字规则。

幂等律

术语“幂等性”是“相同值”的同义词。布尔代数中有两个幂等律。它们是：

定律1 - 根据此定律，变量与自身进行与运算等于该变量本身，即：

A · A = A

定律2 - 根据此定律，变量与自身进行或运算等于该变量本身，即：

A + A = A

吸收律

布尔代数中有两个吸收律，下面将对其进行解释。

定律1 - 根据此定律，如果我们将一个变量与该变量和另一个变量的与运算进行或运算，则结果等于该变量本身，即：

A + A · B = A

证明过程如下：

左边 = A + A · B = A · (1 + B)

= A · 1 = A = 右边

定律2 - 根据此定律，变量与该变量和另一个变量的或运算进行与运算等价于该变量本身，即：

A(A + B) = A

证明过程如下：

左边 = A(A + B) = AA + AB

= A + AB = A(1 + B) = A · 1 = A = 右边

因此，此定律证明了如果一个项出现在另一个项中，则后一个项将变得冗余，可以从表达式中删除。

德摩根定理

在布尔代数中，德摩根定理定义了两个定律，下面将对其进行解释。

定律1 - 根据此定律，变量之和的补码等价于每个变量的补码的乘积，即：

$$\mathrm{\overline{A+B} \: = \: \bar{A}\cdot\bar{B}}$$

此定律可以扩展到任意数量的变量。

定律2 - 德摩根定理的第二定律指出，变量之积的补码等价于每个变量的补码之和，即：

$$\mathrm{\overline{AB} \: = \: \bar{A}\: + \:\bar{B}}$$

此定律也可以扩展到任意数量的变量。

结论

在本章中，我们解释了布尔代数中使用所有重要的定律、规则和定理。这些规则和定律广泛用于简化数字电子中的逻辑表达式。

基本上，所有这些规则都提供了一套简化复杂布尔函数的工具，并使数字电路更简单。