数字电子技术 - 八进制运算

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什么是八进制运算？

在数字电子技术中，八进制数广泛应用于系统设计、编码、解码等。八进制运算可以定义为提供一组规则和运算符来操作八进制数的数学。换句话说，利用八进制数进行数值计算的数学系统被称为八进制运算。

在八进制运算中，我们可以执行以下四种基本的算术运算：

• 八进制加法
• 八进制减法
• 八进制乘法
• 八进制除法

在数字电子系统中，八进制数用于以更紧凑的形式表示二进制信息和数据，因为一个八进制数字可以表示一组三个二进制数字或位。因此，了解八进制运算对于学习数字电子技术非常重要。

让我们借助示例详细讨论这四种八进制运算中的每一种。

八进制加法

在八进制运算中，八进制加法是用于将两个或多个八进制数相加以产生其和的基本算术运算之一。八进制加法类似于十进制加法。但是，在八进制加法的情况下，当和等于或大于8时，会产生进位传递到下一列。

让我们看一些已解决的示例来了解八进制加法的过程。

例1

将(315)₈和(222)₈相加。

解答

八进制数315和222的加法如下所示：

解释

将最右边一列的八进制数字相加：5 + 2 = 7。将数字7写下作为结果。

移到第二列并相加八进制数字1和2：1 + 2 = 3。将数字3写下作为结果。

移到下一列并相加第三列的八进制数字：3 + 2 = 5。将数字5写下作为结果。

因此，315和222的八进制加法的最终结果是537。

例2

执行八进制加法(372)₈ + (716)₈。

解答

给定八进制数的加法解释如下：

解释

将最右边一列的八进制数字相加：2 + 6 = (10)₈。因此，将最后一位数字(0)写下作为结果，并将1进位到下一列。

移到第二列，并加上来自上一步的进位：7 + 1 + 1 = (11)₈。将最后一位数字(1)写下作为结果，并将左边的1进位到下一列。

移到第三列，并加上来自上一步的进位：3 + 7 + 1 = 13。没有其他数字需要相加。因此，写下结果。

因此，八进制加法的最终结果是1310。

八进制减法

八进制减法是另一种对八进制数执行的基本算术运算。它用于查找两个八进制数之间的差。

假设八进制减法为(x)₈ - (y)₈，如果数字x小于数字y，则从下一个更高阶位置借位1来执行八进制减法。

让我们看一些已解决的示例来了解八进制减法。

例1

从(325)₈中减去(213)₈。

解答

给定的八进制减法如下所示：

解释

从最右边一列的数字开始减：5 – 3 = 2。将数字2写下作为结果。

移到下一列并减去数字：2 – 1 = 1。将数字写下作为结果。

移到下一列并减去八进制数字：3 – 2 = 1。将数字1写下作为结果。

因此，给定八进制减法的最终结果是(112)₈。

例2

从(317)₈中减去(125)₈。

解答

数字317₈和125₈的八进制减法解释如下：

解释

减去最右边的数字：7 – 5 = 2。将数字2写下作为结果。

移到第二列并减去数字：1 – 2。由于1小于2，因此从下一个更高位借位1，使其变为11。因此，八进制减法为11 – 2 = 7。将八进制数字7写下作为结果。

移到最左列并减去数字：2 – 1 = 1。将数字1写下作为结果。

因此，减法的最终结果是(172)₈。

八进制乘法

八进制乘法是对八进制数执行的第三种基本算术运算。它用于查找两个八进制数的乘积。

八进制乘法是通过将一个八进制数的每个数字乘以另一个八进制数的每个数字来执行的。最终结果是通过将乘法的所有部分乘积相加而得到的。

以下数值示例演示了执行八进制乘法的方法。

例1

将(375)₈乘以(5)₈。

解答

给定八进制数的乘法解释如下：

解释

将八进制数字5乘以八进制数375的每个数字。写下乘法的结果以获得最终乘积(2361)₈。

例2

执行(624)₈和(25)₈的八进制乘法。

解答

给定八进制数的乘法解释如下：

解释

将第二个八进制数25的最右边的数字(5)₈乘以第一个八进制数624的每个数字，并写下部分乘积。

将八进制数25的下一位数字(2)₈乘以八进制数624的每一位数字。左移一位，写下部分积。

将所有部分积相加，得到最终结果(20444)₈。

八进制除法

八进制除法是可以在八进制数上执行的基本算术运算之一，用于求出商和余数。

下面描述八进制除法的步骤：

步骤1 - 从将被除数的最左边的数字除以除数开始。

步骤2 - 将得到的商乘以除数，并将积从被除数中减去。

步骤3 - 将被除数的下一位八进制数字移下来，重复上述两个步骤，直到使用被除数中的所有数字。

让我们通过一些已解决的例子来了解八进制数的除法。

例1

将(1275)₈除以(3)₈。

解答

给定数字的八进制除法如下所示：

在这个例子中，八进制数(1275)₈除以(3)₈得到商(351)₈和余数(2)₈。

让我们再举一个例子，以便更好地理解八进制除法。

例2

执行(1365)₈除以(5)₈的八进制除法。

解答

给定数字的八进制除法如下所示：

在这个八进制除法的例子中，商是(227)₈，余数是(2)₈。

我们也可以通过将八进制运算转换为二进制形式来执行八进制算术运算。众所周知，一个八进制数字可以用一组3个二进制数字或位来表示。

下表给出了每个八进制数字的二进制表示：

让我们看一些例子来学习通过二进制转换进行八进制算术运算。

通过二进制转换进行八进制加法

通过二进制转换进行两个八进制数的加法可以按照以下步骤执行：

步骤1 - 将给定的八进制数转换为它们的二进制等价物。

步骤2 - 将得到的二进制数相加。

步骤3 - 将最终结果转换回八进制格式。

示例

通过二进制转换相加(75)₈和(14)₈。

解答

将给定的八进制数转换为它们的二进制等价物。

(75)₈ = (111 101)₂

(14)₈ = (001 100)₂

以二进制形式相加八进制数：

将和从二进制转换为八进制以获得最终结果：

(001 001 001)₂ = (111)₈

通过二进制转换进行八进制减法

要通过二进制转换执行两个数的八进制减法，我们首先将它们转换为它们的二进制等价物，然后根据二进制减法的规则执行减法，最后将最终结果转换回八进制数系统。

以下是一个演示如何通过二进制转换执行八进制减法的示例。

示例

通过转换为二进制等价物，从(47)₈中减去(16)₈。

解答

将给定的八进制数转换为其等效的二进制：

(47)₈ = (100 111)₂

(16)₈ = (001 110)₂

使用二进制减法的规则减去这些数字：

将结果转换回八进制数系统：

(011 001)₂ = (31)₈

通过二进制转换进行八进制乘法

就像加法和减法一样，我们也可以通过将八进制数转换为其等效的二进制来执行八进制数的乘法。以下示例演示了如何通过二进制转换执行八进制乘法。

示例

以二进制形式将(417)₈乘以(3)₈。

解答

将给定的八进制数转换为二进制：

(417)₈ = (100 001 111)₂

(3)₈ = (011)₂

将得到的二进制数相乘：

将结果转换回八进制格式：

(1 100 101 101)₂ = (1455)₈

通过二进制转换进行八进制除法

要通过二进制转换执行八进制除法，我们首先将给定的八进制数转换为其等效的二进制，然后根据二进制除法的规则执行除法，最后将结果转换回八进制形式。

以下示例说明了如何通过二进制转换执行八进制除法。

示例

使用二进制转换方法将(547)₈除以(5)₈。

解答

将给定的八进制数转换为它们的二进制等价物：

(547)₈ = (101 100 111)₂

(5)₈ = (101)₂

根据二进制除法算术规则执行二进制除法：

将二进制结果转换回八进制格式：

商 = (1 000 111)₂ = (107)₈

余数 = (100)₂ = (4)₈

结论

在本章中，我们解释了各种算术运算，例如八进制数的加法、减法、乘法和除法。

我们还介绍了八进制算术运算的二进制方法，其中我们首先将给定的八进制数转换为其二进制等价物，然后执行算术运算，最后将二进制结果转换回八进制格式。