布尔代数中的最小项和最大项

任何布尔函数或逻辑表达式都可以用规范/标准的积之和形式或规范/标准的和之积形式表示。逻辑表达式的标准积之和形式包含不同的积项相加，每个积项称为最小项。另一方面，逻辑表达式的标准和之积形式包含不同的和项相乘，每个和项称为最大项。在本文中，我们将讨论最小项和最大项。

什么是最小项？

当布尔函数或逻辑表达式以SSOP（标准积之和）形式或规范形式表示时，表达式的每一项称为最小项。

换句话说，n个变量的逻辑表达式的积项，其中包含每个n个变量的补或非补形式，称为最小项。

最小项通常表示为mi，其中i是0到2^(n-1)之间的整数。这里，“n”是表达式中变量的数量。因此，最小项可以表示为m₀、m₁、m₂、m₃... 这里，后缀是变量组合的十进制代码。

在最小项中，如果变量的值等于0，则该变量将以补形式出现。如果变量的值等于1，则该变量将以非补形式出现。

现在，让我们考虑一些示例来了解如何用最小项表示逻辑表达式。

对于2个变量（A和B）的逻辑表达式，可能的最小项为：

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \overline{A} \: \overline{B}}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \overline{A}B}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: A\overline{B}}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: AB}$$

对于3个变量（A、B和C）的逻辑表达式，可能的最小项为：

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \overline{A} \: \overline{B}C}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \overline{A}B \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \overline{A}BC}$$

$$\mathrm{m_{4} \: = \: A\overline{B} \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{5} \: = \: A\overline{B}C}$$

$$\mathrm{m_{6} \: = \: AB\overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{7} \: = \: ABC}$$

这里，我们可以看到一个有两个变量的逻辑函数有四个（2² = 4）个最小项，而一个有三个变量的逻辑函数有八个（2³ = 8）个最小项。补形式的变量（用变量上的横线表示）的值等于0，非补形式的变量的值等于1。

当布尔函数或逻辑表达式以SPOS（标准和之积）形式或规范形式表示时，表达式的每一项称为最大项。

换句话说，n个变量的逻辑表达式的和项，其中包含每个“n”变量的补或非补形式，称为最大项。

最大项通常表示为Mi，其中“i”是0到2^(n-1)之间的整数。这里，“n”是逻辑表达式中变量的总数。因此，逻辑表达式的最大项可以表示为M₀、M₁、M₂... 其中后缀表示其组合的十进制代码。

在最大项的情况下，如果变量的值等于1，则该变量将以补形式写入；如果变量的值等于0，则该变量将以非补形式写入。

现在，让我们了解如何用最大项的形式表示逻辑函数。

对于2个变量（A和B）的布尔函数，可能的最大项为：

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \lgroup A \: + \: B \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \rgroup}$$

对于3个变量（A、B、C）的布尔表达式，可能的最大项为：

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{4} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{5} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{6} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{7} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

这里，从这两个分别具有2个变量和3个变量的逻辑表达式中，我们可以看到一个有两个变量的逻辑函数有四个（2² = 4）个最大项，而一个有三个变量的逻辑函数有八个（2³ = 8）个最大项。在这种情况下，非补形式的变量（用变量上的横线表示）的值等于0，补形式的变量的值等于1。

本文主要讨论布尔代数中的最小项和最大项。从以上讨论中，我们可以得出结论：最小项是逻辑表达式中的积项，当表达式以标准与或式（SSOP）表示时。另一方面，最大项是逻辑表达式中的和项，其中逻辑表达式以标准或与式（SPOS）表示。

最小项和最大项的共同点是它们都包含逻辑函数的每个“n”个变量。

打印页面