规范式和标准式

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通过将两个变量x和y与逻辑与运算组合，我们将得到四个布尔积项。这些布尔积项称为最小项或标准积项。最小项为x'y'，x'y，xy'和xy。

类似地，我们将通过将两个变量x和y与逻辑或运算组合得到四个布尔和项。这些布尔和项称为最大项或标准和项。最大项为x + y，x + y'，x' + y和x' + y’。

下表显示了2个变量的最小项和最大项的表示。

如果二进制变量为'0'，则在最小项中将其表示为变量的反码，在最大项中将其表示为变量本身。类似地，如果二进制变量为'1'，则在最大项中将其表示为变量的反码，在最小项中将其表示为变量本身。

从上表可以很容易地看出，最小项和最大项互为补码。如果有'n'个布尔变量，则将有2ⁿ个最小项和2ⁿ个最大项。

规范的SOP和POS形式

真值表由一组输入和输出组成。如果有“n”个输入变量，则将有2ⁿ个可能的零和一的组合。因此，每个输出变量的值取决于输入变量的组合。因此，每个输出变量对于某些输入变量组合将为“1”，对于其他一些输入变量组合将为“0”。

因此，我们可以通过以下两种方式表达每个输出变量。

• 规范SOP形式
• 规范POS形式

规范SOP形式

规范SOP形式是指规范的积之和形式。在这种形式中，每个积项都包含所有文字。因此，这些积项不过是最小项。因此，规范SOP形式也称为最小项之和形式。

首先，确定输出变量为1的最小项，然后对这些最小项进行逻辑或运算，以获得对应于该输出变量的布尔表达式（函数）。此布尔函数将采用最小项之和的形式。

如果有多个输出变量，则对其他输出变量也遵循相同的步骤。

示例

考虑以下真值表。

这里，输出(f)对于四种输入组合为'1'。相应的最小项为p'qr、pq'r、pqr'、pqr。通过对这四个最小项进行逻辑或运算，我们将得到输出(f)的布尔函数。

因此，输出的布尔函数为f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr。这是输出f的规范SOP形式。我们还可以用以下两种表示法表示此函数。

$$\mathrm{f \: = \: m_{3} \: + \: m_{5} \: + \: m_{6} \: + \: m_{7}}$$

$$\mathrm{f \: = \: \sum \: m\left ( 3, \:5, \:6, \:7 \right )}$$

在一个等式中，我们将函数表示为各个最小项的和。在另一个等式中，我们使用了这些最小项求和的符号。

规范POS形式

规范POS形式是指规范的和之积形式。在这种形式中，每个和项都包含所有文字。因此，这些和项不过是最大项。因此，规范POS形式也称为最大项之积形式。

首先，确定输出变量为0的最大项，然后对这些最大项进行逻辑与运算，以获得对应于该输出变量的布尔表达式（函数）。此布尔函数将采用最大项之积的形式。

如果有多个输出变量，则对其他输出变量也遵循相同的步骤。

示例

考虑前面示例的相同真值表。这里，输出(f)对于四种输入组合为'0'。相应最大项为p + q + r、p + q + r'、p + q' + r、p' + q + r。通过对这四个最大项进行逻辑与运算，我们将得到输出(f)的布尔函数。

因此，输出的布尔函数为f = (p + q + r)·(p + q + r')·(p + q' + r)·(p' + q + r)。这是输出f的规范POS形式。我们还可以用以下两种表示法表示此函数。

$$\mathrm{f \: = \: M_{0}\cdot M_{1} \cdot M_{2} \cdot M_{4}}$$

$$\mathrm{f \: = \: \prod M\left ( 0, \: 1, \: 2, \: 4 \right )}$$

在一个等式中，我们将函数表示为各个最大项的积。在另一个等式中，我们使用了这些最大项相乘的符号。

布尔函数f = (p + q + r)·(p + q + r’)·(p + q’ + r)·(p’ + q + r)是布尔函数f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr的对偶。

因此，规范的SOP和规范的POS形式是对偶的。从功能上讲，这两种形式是相同的。根据需求，我们可以使用这两种形式中的一种。

标准SOP和POS形式

我们讨论了两种表示布尔输出的规范形式。同样，还有两种表示布尔输出的标准形式。这些是规范形式的简化版本。

• 标准SOP形式
• 标准POS形式

我们将在后面的章节中讨论逻辑门。标准形式的主要优点是应用于逻辑门的输入数量可以最小化。有时，所需的逻辑门总数也会减少。

标准SOP形式

标准SOP形式表示标准积之和形式。在这种形式中，每个乘积项不必包含所有文字。因此，乘积项可能是也可能不是最小项。因此，标准SOP形式是规范SOP形式的简化形式。

我们将通过两个步骤得到输出变量的标准SOP形式。

• 获取输出变量的规范SOP形式
• 简化上述以规范SOP形式表示的布尔函数。

如果有多个输出变量，则对其他输出变量也遵循相同的步骤。有时，可能无法简化规范SOP形式。在这种情况下，规范SOP形式和标准SOP形式相同。

示例

将以下布尔函数转换为标准SOP形式。

$$\mathrm{f \: = \: p'qr \: + \: pq'r \: + \: pqr' \: + \: pqr}$$

给定的布尔函数采用规范SOP形式。现在，我们必须简化此布尔函数以获得标准SOP形式。

步骤1 − 使用布尔代数定理，x + x = x。这意味着，任何布尔变量’n’次的逻辑或运算将等于相同的变量。因此，我们可以将最后一项pqr再写两次。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: p'qr \: + \: pq'r \: + \: pqr' \: + \: pqr \: + \: pqr \: + \: pqr}$$

步骤2 − 对第1项和第4项、第2项和第5项、第3项和第6项使用分配律。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr(p' + p) \: + \: pr(q' + q) \: + \: pq(r' + r)}$$

步骤3 − 使用布尔代数定理，x + x' = 1 来简化每个括号中的项。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr(1) \: + \: pr(1) \: + \: pq(1)}$$

步骤4 − 使用布尔代数定理，x.1 = x 来简化上述三项。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr \: + \: pr \: + \: pq}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: pq \: + \: qr \: + \: pr}$$

这是简化的布尔函数。因此，对应于给定规范SOP形式的标准SOP形式是f = pq + qr + pr

标准POS形式

标准POS形式表示标准和之积形式。在这种形式中，每个和项不必包含所有文字。因此，和项可能是也可能不是最大项。因此，标准POS形式是规范POS形式的简化形式。

我们将通过两个步骤得到输出变量的标准POS形式。

• 获取输出变量的规范POS形式
• 简化上述以规范POS形式表示的布尔函数。

如果有多个输出变量，则对其他输出变量也遵循相同的步骤。有时，可能无法简化规范POS形式。在这种情况下，规范POS形式和标准POS形式相同。

示例

将以下布尔函数转换为标准POS形式。

$$\mathrm{f \: = \: (p + q + r)\cdot(p + q + r')\cdot(p + q' + r)\cdot(p' + q + r)}$$

给定的布尔函数采用规范POS形式。现在，我们必须简化此布尔函数以获得标准POS形式。

步骤1 − 使用布尔代数定理，x · x = x。这意味着，任何布尔变量’n’次的逻辑与运算将等于相同的变量。因此，我们可以将第一项p+q+r再写两次。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + r)\cdot(p + q + r)\cdot(p + q + r)\cdot(p + q + r')\cdot(p +q' + r)\cdot(p' + q + r)}$$

步骤2 − 使用分配律，x + (y · z) = (x + y)·(x + z) 对第1个和第4个括号、第2个和第5个括号、第3个和第6个括号进行操作。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + rr')\cdot(p + r + qq')\cdot(q + r + pp')}$$

步骤3 − 使用布尔代数定理，x.x'=0 来简化每个括号中的项。

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + 0)\cdot(p + r + 0)\cdot(q + r + 0)}$$

步骤4 − 使用布尔代数定理，x + 0 = x 来简化每个括号中的项

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q)\cdot(p + r)\cdot(q + r)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q)\cdot(q + r)\cdot(p + r)}$$

这是简化的布尔函数。因此，对应于给定规范POS形式的标准POS形式是f = (p + q)·(q + r)·(p + r)。这是布尔函数f = pq + qr + pr的对偶。

因此，标准SOP和标准POS形式是互为对偶的。