数字电子技术中的四变量卡诺图

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已经开发出几种技术来将复杂的布尔表达式简化为最简单的形式。卡诺图（K-Map）或卡诺图就是其中一种最小化或简化技术。

卡诺图（K-Map）是一个图表，由相邻单元格的排列组成。其中，卡诺图的每个单元格代表和式或积式中变量的特定组合。卡诺图可用于简化涉及任意数量变量的布尔函数。但是，对于涉及五个或更多变量的问题，使用卡诺图简化布尔函数会变得很繁琐。因此，在实际应用中，卡诺图通常限于六个变量。

卡诺图中的单元格数量取决于给定布尔函数中变量的数量。卡诺图将有 2ⁿ 个单元格或方格，其中 n 是布尔表达式中变量的数量。因此，对于二元函数，卡诺图将有 2² = 4 个单元格；对于三元布尔函数，卡诺图将有 2³ = 8 个单元格；对于四元布尔函数，卡诺图将有 2⁴ = 16 个单元格，依此类推。

在这里，我们将讨论四变量卡诺图，并将其用于简化 4 个变量的布尔函数。

四变量卡诺图

四变量卡诺图用于简化 4 个变量的复杂布尔表达式。众所周知，四变量布尔表达式可能有 2⁴ = 16 种可能的变量组合。

例如，在标准与或式 (SOP) 中，

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: \bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D} \: + \: \bar{A}\bar{B}\bar{C}D \: + \: \bar{A}\bar{B}C\bar{D} \: + \: \dots \: + \: ABCD}$$

该表达式的最小项表示如下：

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: m_{0} \: + \: m_{1} \: + \: m_{2} \: + \: \dotso \: + \: m_{15}}$$

在标准或与式 (POS) 中，

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: (A \: + \: B \: + \: C \: + \: D)(A \: + \: B \: + \: C \: + \: \overline{D} )(A \: + \: B \: + \: \overline{C} \: + \: D) \: \dotso \: (\overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D})}$$

该表达式的最大项表示为：

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: M_{0}\cdot M_{1}\cdot M_{2} \: \dotso \: M_{15}}$$

一个 4 变量卡诺图有 16 个单元格，每个单元格代表函数的最小项或最大项。图 1 显示了四变量布尔表达式的 SOP（积之和）形式和 POS（和之积）形式。

这里，列和行的二进制数字表示采用格雷码。这被称为相邻排序。在这些卡诺图中，图左侧的二进制数字表示任何行中变量 A 和 B 的条件，而卡诺图顶部的二进制数字表示任何列中变量 C 和 D 的条件。单元格右下角的十进制数字表示最小项或最大项的指定。

现在，让我们考虑一个例子来说明使用 4 变量卡诺图简化布尔函数。

例 1

使用 4 变量卡诺图简化以下布尔表达式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \sum m \lgroup 2,3,6,7,8,10,13,15 \rgroup}$$

解答

给定布尔函数的 SOP 卡诺图表示如图 2 所示。

解释

函数的简化按照以下步骤进行：

卡诺图中没有孤立的 1。

最小项 m2 可以与 m3、m6 和 m7 构成一个 4 方格。将其组合并读取为：

$$\mathrm{\bar{A}C}()$$

最小项 m8 可以与 m10 构成一个 2 方格。将其组合并读取为：

$$\mathrm{AB\bar{D}}()$$

最小项 m13 可以与 m15 构成一个 2 方格。将其组合并读取为：

$$\mathrm{(A\bar{B}D)}$$

将所有乘积写成 SOP 形式。

因此，简化的 SOP 表达式为：

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: \bar{A}C \: + \: A\bar{B}D \: + \: AB\bar{D}}$$

例 2

使用 4 变量卡诺图最小化以下布尔表达式。

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: \prod \: M(4,6,11,14,15)}$$

解答

给定布尔函数的 POS 卡诺图表示如图 3 所示。

解释

给定函数的最小化按照以下步骤进行：

卡诺图中没有孤立的 0。

最大项 M4 可以与 M6 构成一个 2 方格。将其组合并读取为：

$$\mathrm{(A \: + \: \bar{B} \: + \: D)}$$

最大项 M11 可以与 M15 构成一个 2 方格。将其组合并读取为：

$$\mathrm{(\bar{A} \: + \: \bar{C} \: + \: \bar{D})}$$

现在，只剩下最大项 M₁₄。M₁₄ 可以与 M₆ 或 M₁₅ 构成 2 方格。如果我们将其与 M15 组合，则读取为：

$$\mathrm{(\bar{A} \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C})}$$

最后，将所有求和项写成 POS 形式。

因此，给定布尔函数的简化 POS 表达式为：

$$\mathrm{f(A,B,C,D) \: = \: (A \: + \: \bar{B} \: + \: D)(\bar{A} \: + \: \bar{C} \: + \: \bar{D})(\bar{A} \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C})}$$

卡诺图数值问题

Q1. 使用 4 变量卡诺图化简以下布尔函数

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \sum m \lgroup 0,1,2,5,8,10,11,13,14,15 \rgroup }$$

Q2. 使用 4 变量卡诺图最小化以下布尔表达式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D \rgroup \: = \: \prod \: M \lgroup 0,2,8,10,11,13,15 \rgroup}$$

结论

这就是关于 4 变量卡诺图及其用于将布尔表达式最小化为最小形式的应用的全部内容。从上述讨论中，我们可以得出结论，4 变量卡诺图是涉及 4 个变量的布尔表达式的图形表示，并以标准 SOP 或 POS 形式表示。它用于将 4 变量布尔表达式的标准 SOP 或 POS 形式、最小项形式或最大项形式转换为其最小 SOP 或 POS 形式。