布尔表达式的最大项表示

---

---

卡诺图或卡诺图是一种简化复杂布尔函数或表达式的系统方法。卡诺图基本上是一个图表或图表，它包含一定数量的相邻单元格。每个单元格代表产品和（SOP）形式或和之积（POS）形式中变量的特定组合。

但是，我们可以使用卡诺图来简化任何变量数的布尔函数，但是对于涉及五个或更多变量的函数，它会变得很繁琐。在实际应用中，我们通常使用卡诺图来简化最多六个变量的布尔函数。

n个变量的布尔函数可以在积之和（SOP）形式中具有2ⁿ个可能的乘积项组合，或在和之积（POS）形式中具有2ⁿ个可能的和项组合。

因此，对于2个变量的布尔函数，卡诺图将有2² = 4个单元格，对于3个变量的函数，它将有2³ = 8个单元格，依此类推。

布尔函数可以用两种规范形式或标准形式表示，即SSOP（标准积之和）形式和SPOS（标准和之积）形式。

SSOP形式是指布尔函数表示为积之和，其中表达式的每一项都包含函数的所有变量，这些变量以补码或非补码形式存在。SSOP形式逻辑表达式的每个乘积项称为最小项。

例如，

$$\mathrm{Y \: = \: AB \: + \: \overline{A}B}$$

这里，Y是两个变量A和B的布尔函数。项AB和AB'是函数的最小项。

在SPOS形式中，布尔函数表示为和之积，其中每个和项（称为最大项）都包含函数的所有变量，这些变量以补码或非补码形式存在。

例如，

$$\mathrm{Y \: = \: \lgroup A \: + \: B\rgroup \: .\: \lgroup \overline{A} \: + \: B \rgroup}$$

这里，Y是两个变量A和B的布尔函数，项（A+B）和（A'+B）是函数的两个最大项。

本文主要用于解释如何在卡诺图上以最大项形式表示布尔函数。因此，让我们讨论最大项表示或在卡诺图上绘制零。

绘制零（最大项表示）

正如我们已经讨论的那样，标准POS形式表达式中的每个和项都称为最大项。最大项用大写字母M表示，其下标表示该最大项的十进制表示。

为了在卡诺图上表示标准POS表达式，在对应于表达式中表示的最大项的单元格中绘制零，并且在对应于表达式中不存在的最大项的单元格中不进行任何条目。

现在，为了更好地理解绘制零或最大项表示的概念，让我们讨论一些已解决的示例。

示例1

在卡诺图上绘制以下2变量布尔表达式。

$$\mathrm{Y \: = \: \lgroup A \: + \: B \rgroup\lgroup A \: + \: \overline{B} \rgroup\lgroup \overline{A} \:+ \: B \rgroup}$$

解决方案

给定的布尔表达式可以用最大项表示为：

$$\mathrm{Y \: = \: M_{3} \cdot M_{2} \cdot M_{1} \: = \: \prod M \lgroup 0, \: 1, \: 2 \rgroup}$$

该函数在卡诺图上的最大项表示如图1所示。

示例2

在卡诺图上绘制以下3变量布尔函数。

$$\mathrm{Y \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup\lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: C\rgroup\lgroup A \: + \: B \: + \: \overline{C}\rgroup\lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \rgroup\lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C}\rgroup}$$

解决方案

给定的布尔函数可以用最大项表示为：

$$\mathrm{Y \: = \: M_{0} \cdot M_{1}\cdot M_{5} \cdot M_{6} \cdot M_{7} \: = \: \prod M \lgroup 0, \: 1, \: 5, \: 6, \: 7 \rgroup}$$

该函数在卡诺图上的最大项表示如图2所示。

因此，这就是关于在卡诺图上绘制零或布尔表达式的最大项表示的全部内容。

教程练习题

尝试解决以下教程练习题，以更清楚地理解这个概念。

Q1. 在卡诺图上以最大项表示绘制以下布尔表达式。

$$\mathrm{f( A, \: B) \: = \: (A \: + \: B)\cdot(\overline{A} \: + \: B).(\overline{A} \: + \: \overline{B})}$$

Q2. 在卡诺图上以最大项表示绘制以下3变量布尔函数。

$$\mathrm{f(A, \: B, \: C) \: = \: (A \: + \: B \: + \: \overline{C})\cdot(A \: + \: \overline{B} \: + \: C)\cdot( \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: C)\cdot(\overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C})}$$