数字电子 - 阈值逻辑

---

---

在前面的章节中，我们已经使用逻辑门实现了各种组合电路。除了非门之外，其余所有逻辑门都至少有两个输入和一个输出。类似地，阈值门也至少包含一个输入和一个输出。

此外，它还为每个输入分配了相应的权重和一个阈值。这些权重和阈值可以是任何有限的实数。

阈值门的原理

假设阈值门的输入为X₁、X₂、X₃、…、X_n。这些输入对应的权重为W₁、W₂、W₃、…、W_n。阈值门的符号如下图所示。

阈值门用一个圆圈表示，它具有'n'个输入，从X₁到X_n，以及一个输出Y。这个圆圈被分成两部分。一部分表示对应于输入的权重，另一部分表示阈值T。

输入与对应权重的乘积之和称为加权和。如果这个加权和大于或等于阈值T，则输出Y将等于1。否则，输出Y将等于0。

数学上，我们可以将阈值门的输入和输出之间的关系写成如下。

$$\mathrm{Y \: = \: 1 \:\: if \: \: W_{1}X_{1} \: + \: W_{2}X_{2} \: + \: W_{3}X_{3} \: + \: \dotso \: + \: W_{n}X_{n} \: \geq \: T}$$

否则，𝑌 = 0。

因此，我们只需更改权重和/或阈值T的值，就可以实现各种逻辑门和布尔函数。

示例

让我们找到以下阈值门的简化布尔函数。

该阈值门具有三个输入X₁、X₂、X₃和一个输出Y。

对应于输入X₁、X₂和X₃的权重分别为W₁ = 2、W₂ = 1和W₃ = -4。

阈值的值为T = -1。

阈值门的加权和为

$$\mathrm{W \: = \: W_{1}X_{1} \: + \: W_{2}X_{2} \: + \: W_{3}X_{3}}$$

将给定的权重代入上述方程。

$$\mathrm{\Rightarrow \: W \: = \: 2X_{1} \: + \: X_{2} \: − \: 4X_{3}}$$

如果W ≥ −1，则阈值门的输出Y将为'1'，否则将为'0'。

下表显示了所有可能的输入组合的输入和输出之间的关系。

从上表可以看出，输出Y的布尔函数可以写成

$$\mathrm{Y \: = \: \sum m( 0,2,4,6,7)}$$

使用3变量卡诺图对该布尔函数进行化简，如下图所示。

因此，给定阈值门的简化布尔函数为Y = X₃' + X₁ X₂。

阈值函数的综合

阈值门也称为通用门，因为我们可以使用阈值门来实现任何布尔函数。有时，使用单个阈值门可能无法实现某些逻辑门和布尔函数。在这种情况下，我们可能需要多个阈值门。

使用单个阈值门实现布尔函数，请遵循以下步骤。

步骤1 - 为给定的布尔函数制定一个真值表。

步骤2 - 在上述真值表中，添加（包含）一列，该列给出加权和与阈值之间的关系。

步骤3 - 如以下所述，为每种输入组合编写加权和与阈值之间的关系。

• 如果布尔函数的输出为1，则对于这些输入组合，加权和将大于或等于阈值。
• 如果布尔函数的输出为0，则对于这些输入组合，加权和将小于阈值。

步骤4 - 选择权重和阈值的值，使它们满足上表最后一列中的所有关系。

步骤5 - 使用这些权重和阈值绘制阈值门的符号。

示例

让我们使用单个阈值门来实现以下布尔函数。

$$\mathrm{Y( X_{1},X_{2},X_{3})\:=\: \sum m ( 0,2,4,6,7)}$$

给定的布尔函数是一个三变量函数，以最小项之和的形式表示。该函数的真值表如下所示。

现在，让我们在上述真值表中添加（包含）一列。最后一列包含每种输入组合的加权和(W)与阈值(T)之间的关系。

以下是上表中的结论。

• 根据第一个关系，阈值应为零或负数。
• 根据第一和第二关系，W₃的值应为负数。
• 根据第五和第三关系，W₁和W₂的值应大于或等于阈值。
• 根据第四关系，W₂应大于W₃。

根据以上结论，我们可以为权重和阈值选择以下值。

W₁ = 2，W₂ = 1，W₃ = -4和T = -1

具有上述值的阈值门符号如下所示。

因此，该阈值门实现了给定的布尔函数，$\mathrm{Y( X_{1}, X_{2},X_{3}) \:=\: \sum m (0,2,4,6,7)}$。