数字电子技术 - 数制

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数字数制是一种位置计数法，它有一些称为数字的符号。它提供了一套完整的数字、运算符和规则来执行运算。

在数字数制中，使用的数字个数决定了数制的基数。例如，二进制数制有两个数字（0和1），因此二进制数制的基数为2。

数字数制构成了现代计算技术和数字电子的基础。它们用于使用数字系统表示、处理和操纵信息。

本章将讨论不同类型数字数制的根本概念。

数字数制类型

在数字电子技术中，主要使用以下四种类型的数字数制：

• 二进制数制
• 十进制数制
• 八进制数制
• 十六进制数制

让我们详细讨论每个数制。

二进制数制

二进制数制是所有数字系统实现和工作背后的基本组成部分。

二进制数制有两个符号或数字，即0和1。因此，这两个数字用于表示信息并执行所有数字运算。每个二进制数字称为一位。

由于二进制数制使用两个数字，因此其基数为2。因此，二进制数的值计算为2的幂之和。

二进制数字在数字系统中用于表示其开和关状态。其中，0用于表示数字系统的关状态，1用于表示系统的开状态。

总的来说，二进制数制构成了计算、数字通信和数字信息存储的基础。

示例

考虑二进制数1101.011。这个数的整数部分是1101，小数部分是0.011。整数部分的数字1、0、1和1的权重分别为2⁰、2¹、2²、2³。类似地，小数部分的数字0、1和1的权重分别为2^-1、2^-2、2^-3。

数学上，我们可以写成：

$$\mathrm{1101.011 \: = \: (1 \: \times \: 2^{3}) \: + \:(1 \: \times \: 2^{2}) \: + \: (0 \: \times \: 2^{1}) \: + \: (1 \: \times \: 2^{0}) \: + \: (0 \: \times \: 2^{−1}) \: + \: (1 \: \times \: 2^{−2}) \: + \: (1 \: \times \: 2^{−3})}$$

简化右侧项后，我们将得到一个十进制数，它是左侧二进制数的等价值。

十进制数制

十进制数制本身并非数字数制。但它被广泛用于以人类可读的格式表示数字信息。

十进制数制是基数为10的数制，具有10个唯一数字，即0、1、2、3、4、5、6、7、8和9。它是人类用来以自然方式表示信息标准数制。但是，数字系统不能直接处理以十进制表示的信息，因此它被转换为二进制形式，然后进行处理。

十进制数制的基数为10。因此，十进制数的值计算为10的幂之和。

示例

考虑十进制数1358.246。这个数的整数部分是1358，小数部分是0.246。数字8、5、3和1的权重分别为(10)⁰、(10)¹、(10)²和(10)³。类似地，数字2、4和6的权重分别为(10)^-1、(10)^-2和(10)^-3。

数学上，我们可以写成：

$$\mathrm{1358.246 \: = \: (1 \: \times \: 10^{3}) \: + \:(3 \: \times \: 10^{2}) \: + \: (5 \: \times \: 10^{1}) \: + \: (8 \: \times \: 10^{0}) \: + \: (2 \: \times \: 10^{−1}) \: + \: (4 \: \times \: 10^{−2}) \: + \: (6 \: \times \: 10^{−3})}$$

简化右侧项后，我们将得到左侧的十进制数。

八进制数制

八进制数制是数字电子领域中用于表示信息的另一种数字数制。它是一个基数为8的数制，具有八个唯一数字，即0、1、2、3、4、5、6和7。

需要注意的是，八进制数制相当于3位二进制数制，因为2³ = 8。因此，该数制可用于计算和数字电子应用。

八进制数的值是8的幂之和，因为8是八进制数系统的基数。

八进制数系统用于数字电子领域，以紧凑的形式表示二进制信息，例如Linux或Unix系统中的权限、IPv6地址、二进制机器码指令，以及在错误检测算法中等等。

示例

考虑一下**八进制数1457.236**。这个数的整数部分是1457，小数部分是0.236。数字7、5、4和1的权重分别为(8)⁰、(8)¹、(8)²和(8)³。类似地，数字2、3和6的权重分别为(8)^-1、(8)^-2和(8)^-3。

数学上，我们可以写成：

$$ \mathrm{1457.236 \: = \: (1 \: \times \: 8^{3}) \: + \:(4 \: \times \: 8^{2}) \: + \: (5 \: \times \: 8^{1}) \: + \: (7 \: \times \: 8^{0}) \: + \: (2 \: \times \: 8^{−1}) \: + \: (3 \: \times \: 8^{−2}) \: + \: (6 \: \times \: 8^{−3})} $$

简化等式右边项后，我们将得到一个十进制数，它等价于等式左边的八进制数。

十六进制数制

十六进制数系统是一个基数为16的数系统。它有16个数字，0到9和A到F。其中，A代表10，B代表11，C代表12，D代表13，E代表14，F代表15。十六进制数系统等价于一个4位二进制数系统，因为2⁴ = 16。因此，十六进制数的值可以通过16的幂之和来计算。

在数字电子领域，十六进制数系统用于内存地址表示、数字颜色表示、低级计算机编程、编码、汇编语言编程、微控制器、键盘等。十六进制数系统在数字表示和人类可读性之间取得了平衡。

示例

考虑一下**十六进制数1A05.2C4**。这个数的整数部分是1A05，小数部分是0.2C4。数字5、0、A和1的权重分别为(16)⁰、(16)¹、(16)²和(16)³。类似地，数字2、C和4的权重分别为(16)^-1、(16)^-2和(16)^-3。

数学上，我们可以写成：

$$ \mathrm{1A05.2C4 \: = \: (1 \: \times \: 16^{3}) \: + \:(10 \: \times \: 16^{2}) \: + \: (0 \: \times \: 16^{1}) \: + \: (5 \: \times \: 16^{0}) \: + \: (2 \: \times \: 16^{−1}) \: + \: (12 \: \times \: 16^{−2}) \: + \: (4 \: \times \: 16^{−3})} $$

简化等式右边项后，我们将得到一个十进制数，它等价于等式左边的十六进制数。

数字数制系统的优点

以下是数字数制系统的一些主要优点：

• 数字数制系统提供了一种简单且一致的方式来表示和理解信息。
• 数字数制系统允许开发高效的方法来存储和传输数字信息。
• 数字数制系统提供表示不同类型信息的方法，例如文本、数字、图像等。
• 数字数制系统允许将信息从一种形式转换为另一种形式，以满足应用程序的需求。
• 数字数制系统在硬件和软件之间创建了兼容性。

数字数制系统的应用

数字数制系统应用于各种数字电子领域，例如计算、互联网、通信、信号处理等等。以下是数字数制系统应用的一些例子：

• 信息表示
• 数字通信
• 数字数据和信息的存储和传输
• 算法开发
• 系统编程等。

结论

本章讨论了数字数制系统的基本概念。理解数字数制系统对于设计、实现和排除数字系统的故障至关重要。数字数制系统提供了在数字系统中表示和操作信息的不同方法。