数字电子 - 十六进制运算

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什么是十六进制运算？

在数字电子学中，十六进制数用于以更紧凑的形式表示二进制信息，因为一个十六进制数字可以表示一组4个二进制数字。因此，十六进制数及其上的算术运算在数字电子领域起着至关重要的作用。

十六进制运算是一种数学系统，允许执行算术运算，例如十六进制或16进制数的加法、减法、乘法和除法。

在本章中，我们将介绍以下四种基本的十六进制运算 -

• 十六进制加法
• 十六进制减法
• 十六进制乘法
• 十六进制除法

让我们借助示例详细了解每种十六进制运算。

十六进制加法

十六进制加法是在十六进制数上执行的基本算术运算之一，用于确定它们的和。基本上，十六进制加法类似于十进制加法。但在十六进制加法中，如果和大于或等于16，则会向下一较高列生成进位。

让我们看一些已解决的示例，以更好地理解十六进制加法。

示例1

将(5A)₁₆和(BF)₁₆相加。

解答

给定十六进制数的加法如下所示 -

(5A)₁₆ + (BF)₁₆ = (119)₁₆

解释

从添加最右列的十六进制数字开始：A + F = 10 + 15 = 25 = 16 + 9。这里，16形成向下一列的进位。因此，和为9，向下一列进位为1。

移到下一列，并添加数字以及上一列的进位：5 + B + 1 = 5 + 11 + 1 = 17 = 16 + 1。这里，16形成向下一列的进位。因此，和为1，进位为1。没有剩余数字，因此进位也将写为和中最左边的数字。

因此，5A和BF的十六进制和为119。

示例2

将(ABC)₁₆和(2A9)₁₆相加。

解答

给定数字的十六进制和如下所示 -

(ABC)₁₆ + (2A9)₁₆ = (D65)₁₆

解释

从添加最右列的数字开始：C + 9 = 12 + 9 = 21 = 16 + 1。这里，16形成进位。因此，和为1，进位为1。

移到下一列，并添加数字以及上一步的进位：B + A + 1 = 11 + 10 + 1 = 22 = 16 + 6。因此，和为6，向下一列进位为1。

移到最左列，并添加数字以及上一步的进位：A + 2 + 1 = 10 + 2 + 1 = 13。由于和为13，小于16，因此不会产生进位。在十六进制数系统中，13用字母D表示。

因此，ABC和2A9的十六进制和= D65。

这就是十六进制加法，它涉及逐列添加给定十六进制数的数字。执行十六进制加法时，最需要注意的一点是，当特定列中的和大于或等于16（即十六进制数系统的基数）时，会向下一列生成进位。

十六进制减法

十六进制减法是在十六进制数上执行的基本算术运算之一，用于确定它们之间的差。

十六进制减法类似于十进制减法。唯一的区别在于，在十六进制减法中，当被减数的数字小于减数的数字时，会从较高列的数字借位1，相当于16。

让我们借助已解决的示例来理解十六进制减法。

示例1

从(A57)₁₆中减去(125)₁₆。

解答

给定十六进制数的减法如下所示 -

(A57)₁₆ - (125)₁₆ = (932)₁₆

解释

从最右列开始减去十六进制数字：7 – 5 = 2。写下结果。

移到下一列，并减去数字：5 – 2 = 3。写下数字3作为差。

移到最左列，并减去数字：A – 1 = 10 – 1 = 9。写下结果作为差。

因此，A57和125的十六进制差为932。

示例2

从(BC5)₁₆中减去(1DA)₁₆。

解答

BC5和1DA的十六进制减法如下所示 -

(BC5)₁₆ - (1DA)₁₆ = (9EB)₁₆

解释

首先从最右列的数字开始减法运算：5 – A。由于 5 小于 A (10)，因此我们需要从更高位的数字借位。从下一列 (C) 借位后，数字 5 将变为 5 + 16（因为 16 等价于借 1）= 21。因此，21 – A = 11 (B)。将 B 作为差值写下。

移到下一列并减去数字：B – D。同样，B 小于 D，因此我们从更高位数字 B 借位。借位后，B 将变为 B + 16 = 27。因此，27 – D = 14 (E)。将数字 E 作为差值写下。

移到最左列并减去数字：A – 1 = 9。写下结果。

因此，BC5 和 1DA 的十六进制差等于 9EB。

这些示例解释了两个十六进制数减法的过程。现在让我们讨论十六进制数的第三种基本算术运算，即十六进制乘法。

十六进制乘法

十六进制乘法是一种算术运算，用于确定两个十六进制数的乘积。

十六进制乘法类似于十进制乘法。但是，在十六进制乘法的情况下，当乘积大于或等于 16 时，会产生进位到下一列。

以下示例演示了两个十六进制数相乘的过程。

示例1

将 (A19)₁₆ 乘以 (B)₁₆。

解答

给定十六进制数的乘法如下所示：

(A19)₁₆ 乘以 (B)₁₆ = (6F13)₁₆

解释

将数字 (B)₁₆ 与数字 (A19)₁₆ 的每个数字相乘，并写下结果。

首先，我们将 B 乘以 9，得到 99 = 96 + 3。因此，3 写为乘积，96 作为进位 6 (16 × 6 = 96) 进到下一列。

然后，我们将 B 乘以 1 并将进位 6 加到乘积上。得到 17 = 16 + 1。这里，结果是 1，进位是 1。

最后，我们将 B 乘以 A 并将上一步得到的进位 1 加到乘积上。得到 96 + 15 (十六进制中的 F)。结果是 F，进位是 6。

因此，A19 和 B 的最终十六进制乘积为 6F13。

示例2

将 (ABC)₁₆ 乘以 (29)₁₆。

解答

给定十六进制数的乘法如下所示：

(ABC)₁₆ 乘以 (29)₁₆ = (1B81C)₁₆

解释

在这个例子中，我们首先将第二个数 (29)₁₆ 的数字 (9)₁₆ 乘以数字 (ABC)₁₆ 的每个数字。写下部分积。

然后，我们将数字 (29)₁₆ 的数字 (2)₁₆ 乘以数字 (ABC)₁₆ 的每个数字。将部分积向左移动一位后写下。

最后，我们将所有部分积加起来得到最终结果。

因此，(ABC)₁₆ 和 (29)₁₆ 的十六进制乘积为 (1B81C)₁₆。

十六进制除法

十六进制除法是我们对 16 进制数执行的第四种基本算术运算。在十六进制除法中，我们得到两个结果，即商和余数。

执行十六进制除法需要遵循以下步骤：

• 步骤 1 - 从被除数的最左边的数字开始除法运算。
• 步骤 2 - 将得到的商乘以除数，并从被除数中减去。
• 步骤 3 - 将被除数的下一个有效数字或数字移下来。
• 步骤 4 - 重复上述三个步骤中解释的过程，直到被除数中的所有数字都用完。

以下示例演示了执行十六进制除法的过程。

示例1

将 (A29)₁₆ 除以 (5)₁₆。

解答

A29 除以 5 的十六进制除法如下所示：

在这个十六进制除法中，我们得到了商 (208)₁₆ 和余数 (1)₁₆。

示例2

将 (1AC)₁₆ 除以 (A)₁₆。

解答

给定数字的十六进制除法如下所示：

在这个例子中，我们得到了商 (2A)₁₆ 和余数 (8)₁₆。

我们解释了执行十六进制算术运算的直接方法。现在让我们看看如何通过二进制算术执行所有这四种十六进制算术运算。

正如我们所知，每个十六进制数字都可以表示为一组四个位，如下表所示。

现在让我们讨论通过二进制转换进行的十六进制算术运算。

通过二进制转换进行十六进制加法

在这种加两个十六进制数的方法中，我们首先将它们转换为等效的二进制格式，然后使用二进制算术规则对得到的二进制数进行加法运算，最后将最终结果转换回十六进制格式。

以下示例演示了通过二进制转换进行十六进制加法的过程。

示例

通过二进制转换将 (A5C)₁₆ 和 (CCD)₁₆ 相加。

解答

将给定的十六进制数转换为其二进制等效值，

(A5C)₁₆ = (1010 0101 1100)₂

(CCD)₁₆ = (1100 1100 1101)₂

将得到的二进制数相加，

最后，将二进制和转换为其等效的十六进制格式以获得最终结果。

(0001 0111 0010 1001)₂ = (1729)₁₆

因此，(A5C)₁₆ 和 (CCD)₁₆ 的十六进制和为 (1729)₁₆。

通过二进制转换进行十六进制减法

要通过二进制转换减去两个十六进制数，我们首先将给定的十六进制数转换为其二进制等效值。然后，根据二进制算术规则减去它们。最后，将最终结果转换回十六进制格式。

以下是一个演示通过二进制转换进行十六进制减法的过程的示例。

示例

使用二进制算术从 (FEA)₁₆ 中减去 (AC2)₁₆。

解答

将给定的十六进制数转换为其二进制等效值，

(FEA)₁₆ = (1111 1110 1010)₂

(AC2)₁₆ = (1010 1100 0010)₂

减去得到的二进制数，

将差值转换回十六进制以获得最终结果，

(0101 0010 1000)₂ = (528)₁₆

因此，(FEA)₁₆ 和 (AC2)₁₆ 的十六进制差为 (528)₁₆。

通过二进制转换进行十六进制乘法

我们还可以通过将两个十六进制数转换为其二进制等效值来相乘。为此，我们首先将给定的十六进制数转换为其二进制等效值，然后根据二进制算术规则将二进制数相乘，并将结果转换回十六进制以获得最终结果。

以下示例演示了通过二进制转换将十六进制数相乘的过程。

示例

通过二进制转换将 (A9C)₁₆ 乘以 (B)₁₆。

解答

将给定的十六进制数转换为其等效的二进制，

(A9C)₁₆ = (1010 1001 1100)₂

(B)₁₆ = (1011)₂

将二进制数相乘，

将乘积转换回十六进制格式，

(0111 0100 1011 0100)₂ = (74B4)₁₆

因此，A9C 和 B 的十六进制乘积为 74B4。

通过二进制转换进行十六进制除法

十六进制除法也可以使用二进制算术执行。在这种方法中，首先，我们将给定的十六进制数转换为其二进制等效值，然后根据二进制除法的规则进行除法运算。最后，我们将结果从二进制格式转换为十六进制以获得最终结果。

让我们借助一个示例了解使用二进制算术进行的十六进制除法。

示例

使用二进制算术将 (AB8)₁₆ 除以 (A)₁₆。

解答

将给定的十六进制数转换为其二进制等效值，

(AB8)₁₆ = (1010 1011 1000)₂

(A)₁₆ = (1010)₂

将得到的二进制数相除，

将商和余数转换为十六进制，

商 = (0001 0001 0010)₂ = (112)₁₆

余数 = (0100)₂ = (4)₁₆

结论

在本章中，我们解释了十六进制数的四种基本算术运算（加法、减法、乘法和除法）。我们还讨论了十六进制算术运算的二进制方法。