用与非门实现全加器

在数字电子学中，有不同类型的逻辑电路用于执行各种算术运算。其中之一是加法器。**加法器**(或**二进制加法器**)是一种组合逻辑电路，它执行两个或多个二进制数的加法并给出输出和。存在两种类型的加法器，即**半加器**和**全加器**。

由于加法器是逻辑电路，因此它们使用不同类型的数字逻辑门来实现，例如**或门**、**与门**、非门、与非门、或非门等。在这里，我们将讨论**使用与非门实现全加器**。但在讨论之前，让我们先了解一下全加器的基础知识。

什么是全加器？

可以对两个二进制数字(位)和一个进位位进行加法，并产生一个和位和一个进位位作为输出的组合逻辑电路称为全加器。换句话说，设计用于对三个二进制数字进行加法并产生两个输出(和与进位)的组合电路称为全加器。因此，全加器电路对三个二进制数字进行加法，其中两个是输入，一个是来自前一次加法的进位。全加器的框图如图1所示。

从全加器的框图中可以看出，它有三个输入，即A、B、C_in。其中，A和B是输入位，C_in是前一级的进位位。它有两个输出变量，即和(S)和进位(C_out)。

全加器的真值表

以下是全加器电路的真值表：

因此，从真值表可以看出，当只有一个输入等于1或所有输入都等于1时，全加器的和输出等于1。而进位输出在两个或三个输入等于1时进位为1。

全加器的输出方程可以从全加器的真值表中得到。这些方程如下：

和输出

$$\mathrm{Sum,\, S=A'B'C_{in}+A'BC'_{in}+AB'C'_{in}+ABC_{in}=A\oplus B\oplus C_{in} }$$

进位输出

$$\mathrm{Carry,\, C_{out}=AB+AC_{in}+BC_{in}}$$

现在，让我们讨论用与非门实现全加器。

用与非门实现全加器

全加器电路可以用与非逻辑门实现，如图2所示。

从使用与非门的全加器的逻辑电路图中，我们可以看到全加器需要9个与非门。

使用与非门的全加器电路的和输出方程如下所示：

$$\mathrm{S=\overline{\overline{\left ( A\oplus B \right )\cdot \overline{\left ( A\oplus B \right )C_{in}}}\cdot \overline{C_{in}\cdot\overline{\left ( A\oplus B \right )C_{in}}} }=A\oplus B\oplus C_{in}}$$

其中，

$$\mathrm{A\oplus B=\overline{\overline{A\cdot \overline{AB}}\cdot \overline{B\cdot \overline{AB}}}}$$

使用与非门的全加器电路的进位输出方程为：

$$\mathrm{C_{out}=\overline{\overline{C_{in}\left ( A\oplus B \right )}\cdot \overline{AB}}=AB+\left ( A\oplus B \right )C_{in}}$$

这样，我们可以仅使用与非门来实现全加器电路。