统计学 - Beta 分布

Beta 分布表示连续概率分布，由两个正的形状参数 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 参数化，它们作为随机变量 x 的指数出现并控制分布的形状。

概率密度函数

Beta 分布的概率密度函数表示为

公式

${ f(x) = \frac{(x-a)^{\alpha-1}(b-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta) (b-a)^{\alpha+\beta-1}} \hspace{.3in} a \le x \le b; \alpha, \beta > 0 \\[7pt] \, where \ B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1} {t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt} }$

其中 -

${ \alpha, \beta }$ = 形状参数。
${a, b}$ = 上限和下限。
${B(\alpha,\beta)}$ = Beta 函数。

标准 Beta 分布

如果上限和下限为 1 和 0，则 Beta 分布称为标准 Beta 分布。它由以下公式驱动

公式

${ f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \hspace{.3in} \le x \le 1; \alpha, \beta > 0}$

累积分布函数

Beta 分布的累积分布函数表示为

公式

${ F(x) = I_{x}(\alpha,\beta) = \frac{\int_{0}^{x}{t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt}}{B(\alpha,\beta)} \hspace{.2in} 0 \le x \le 1; p, \beta > 0 }$

其中 -

${ \alpha, \beta }$ = 形状参数。
${a, b}$ = 上限和下限。
${B(\alpha,\beta)}$ = Beta 函数。

它也称为不完全 Beta 函数比率。

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