统计学 - 概率贝叶斯定理

概率领域最重大的发展之一是贝叶斯决策理论的发展，它已被证明对在不确定条件下做出决策有极大的帮助。贝叶斯定理是由英国数学家托马斯·贝叶斯牧师提出的。贝叶斯定理下的概率也称为逆概率、后验概率或修正概率。该定理通过考虑给定的样本信息来找到事件的概率；因此得名后验概率。贝叶斯定理基于条件概率公式。

给定事件${B}$时事件${A_1}$的条件概率为

${P(A_1/B) = \frac{P(A_1\ 和\ B)}{P(B)}}$

同样，给定事件${B}$时事件${A_1}$的概率为

${P(A_2/B) = \frac{P(A_2\ 和\ B)}{P(B)}}$

其中

${P(B) = P(A_1\ 和\ B) + P(A_2\ 和\ B) \\[7pt] P(B) = P(A_1) \times P (B/A_1) + P (A_2) \times P (BA_2) }$

${P(A_1/B)}$可以改写为

${P(A_1/B) = \frac{P(A_1) \times P (B/A_1)}{P(A_1)} \times P (B/A_1) + P (A_2) \times P (BA_2)}$

因此，贝叶斯定理的一般形式为

${P(A_i/B) = \frac{P(A_i) \times P (B/A_i)}{\sum_{i=1}^k P(A_i) \times P (B/A_i)}}$

其中${A_1}$，${A_2}$...${A_i}$...${A_n}$是一组n个互斥且穷举的事件。

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