统计学 - 卡方分布

卡方分布（卡方或${X^2}$分布）具有自由度k，是k个独立标准正态随机变量的平方和的分布。它是统计学中最广泛使用的概率分布之一。它是伽马分布的特例。

统计学家广泛使用卡方分布来计算以下内容

使用样本标准差估计正态分布总体标准差的置信区间。
检查多个定性变量的多个分类标准的独立性。
检查分类变量之间的关系。
研究基础分布为正态的样本方差。
检验预期频率和观察频率之间差异的偏差。
进行卡方检验（拟合优度检验）。

概率密度函数

卡方分布的概率密度函数表示为

公式

${ f(x; k ) = } $ $ \begin {cases} \frac{x^{ \frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}, & \text{如果 $x \gt 0 $} \\[7pt] 0, & \text{如果 $x \le 0 $} \end{cases} $

其中 -

${\Gamma(\frac{k}{2})}$ = 伽马函数，对于整数参数k具有封闭形式的值。
${x}$ = 随机变量。
${k}$ = 整数参数。

累积分布函数

卡方分布的累积分布函数表示为

公式

${ F(x; k) = \frac{\gamma(\frac{x}{2}, \frac{k}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\\[7pt] = P (\frac{x}{2}, \frac{k}{2}) }$

其中 -

${\gamma(s,t)}$ = 下不完全伽马函数。
${P(s,t)}$ = 正则化伽马函数。
${x}$ = 随机变量。
${k}$ = 整数参数。

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