统计学 - 二次回归方程

二次回归用于确定最适合给定数据集的抛物线方程。它具有以下形式

${ y = ax^2 + bx + c \ where \ a \ne 0}$

最小二乘法可用于求出二次回归方程。在这种方法中，我们求出a、b和c的值，使得每个给定点(${x_i, y_i}$)与抛物线方程(${ y = ax^2 + bx + c}$)之间的垂直距离的平方最小。抛物线曲线的矩阵方程由下式给出

$ {\begin{bmatrix} \sum {x_i}^4 & \sum {x_i}^3 & \sum {x_i}^2 \\ \sum {x_i}^3 & \sum {x_i}^2 & \sum x_i \\ \sum {x_i}^2 & \sum x_i & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum {x_i}^2{y_i} \\ \sum x_iy_i \\ \sum y_i \end{bmatrix} }$

相关系数，r

相关系数r决定二次方程拟合给定数据的优劣程度。如果r接近1，则拟合效果良好。r可以通过以下公式计算。

${ r = 1 - \frac{SSE}{SST} \ where \\[7pt] \ SSE = \sum (y_i - a{x_i}^2 - bx_i - c)^2 \\[7pt] \ SST = \sum (y_i - \bar y)^2 }$

通常，使用二次回归计算器来计算二次回归方程。

示例

问题陈述

计算以下数据的二次回归方程。检查其最佳拟合度。

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	7.5	3	0.5	1	3	6	14

解决方案

通过输入x和y值，在计算器上执行二次回归。上述点的最佳拟合二次方程为

${ y = 1.1071x^2 + x + 0.5714 }$

要检查最佳拟合度，请绘制图形。

因此，数据的相关系数r值为0.99420，接近1。因此，二次回归方程是最佳拟合。

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