统计学 - 概率加法定理

对于互斥事件

概率加法定理指出，如果A和B是两个互斥事件，则事件A或B发生的概率由下式给出：

${P(A或B) = P(A) + P(B) \\[7pt] P (A \cup B) = P(A) + P(B)}$

该定理也可以扩展到三个互斥事件，如下所示：

${P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) }$

示例

问题陈述

从一副52张牌中抽取一张牌，求抽到一张国王或王后的概率。

解答

设事件(A) = 抽到一张国王牌

事件(B) = 抽到一张王后牌

P(抽到国王或王后) = P(抽到国王) + P(抽到王后)

${P (A \cup B) = P(A) + P(B) \\[7pt] = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} \\[7pt] = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \\[7pt] = \frac{2}{13}}$

对于非互斥事件

如果两个事件都有可能发生，则加法定理写成：

${P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A和B)\\[7pt] P (A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)}$

示例

问题陈述

已知一名射手7次射击中3次命中目标，另一名射手5次射击中2次命中目标。求两人都射击时目标至少被击中的概率。

解答

第一名射手击中目标的概率P(A) = ${\frac{3}{7}}$

第二名射手击中目标的概率P(B) = ${\frac{2}{5}}$

事件A和B不是互斥事件，因为两个射手都可能击中目标。因此，适用的加法规则是

${P (A \cup B) = P (A) + P(B) - P (A \cap B) \\[7pt] = \frac{3}{7}+\frac{2}{5}-(\frac{3}{7} \times \frac{2}{5}) \\[7pt] = \frac{29}{35}-\frac{6}{35} \\[7pt] = \frac{23}{35}}$

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