统计学 - 泊松分布

泊松分布是离散概率分布，在统计工作中广泛使用。这种分布是由法国数学家西蒙·丹尼斯·泊松在1837年提出的，并以他的名字命名。泊松分布用于事件发生的概率很小的情况，即事件很少发生。例如，制造企业中出现缺陷产品的概率很小，一年内发生地震的概率很小，道路上发生事故的概率很小，等等。所有这些都是事件发生的概率很小的例子。

泊松分布由以下概率函数定义和给出

公式

${P(X=x)} = {e^{-m}}.\frac{m^x}{x!}$

其中 -

${m}$ = 成功概率。
${P(X=x)}$ = x次成功的概率。

示例

问题陈述

一位别针生产商发现，正常情况下，他5%的产品有缺陷。他将别针包装成100枚一包，并保证不超过4枚别针有缺陷。一包别针满足保证质量的概率是多少？[已知：${e^{-m}} = 0.0067$]

解决方案

设p = 缺陷别针的概率 = 5% = $\frac{5}{100}$。已知

${n} = 100, {p} = \frac{5}{100} , \\[7pt] \ \Rightarrow {np} = 100 \times \frac{5}{100} = {5}$

泊松分布表示为

${P(X=x)} = {e^{-m}}.\frac{m^x}{x!}$

所需概率 = P [包装满足保证]

= P [包装包含最多4个缺陷]

= P (0) +P (1) +P (2) +P (3) +P (4)

$ = {e^{-5}}.\frac{5^0}{0!} + {e^{-5}}.\frac{5^1}{1!} + {e^{-5}}.\frac{5^2}{2!} + {e^{-5}}.\frac{5^3}{3!} +{e^{-5}}.\frac{5^4}{4!}, \\[7pt] \ = {e^{-5}}[1+\frac{5}{1}+\frac{25}{2}+\frac{125}{6}+\frac{625}{24}] , \\[7pt] \ = 0.0067 \times 65.374 = 0.438$

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