统计学 - 线性回归

一旦使用相关分析确定了变量之间的关系程度，自然就会深入研究关系的性质。回归分析有助于确定变量之间的因果关系。如果可以使用图形方法或代数方法预测自变量的值，则可以预测其他变量（称为因变量）的值。

图形方法

这涉及绘制散点图，其中自变量位于 X 轴上，因变量位于 Y 轴上。之后，绘制一条线，使其穿过大部分分布，其余点几乎均匀地分布在线的两侧。

回归线被称为最佳拟合线，它总结了数据的总体走势。它显示了一个变量的最佳平均值与另一个变量的平均值相对应。回归线基于这样的标准：它是一条直线，可以最小化因变量的预测值和观察值之间的平方差之和。

代数方法

代数方法建立了 X 对 Y 的两个回归方程和 Y 对 X 的两个回归方程。

Y 对 X 的回归方程

${Y = a+bX}$

其中 -

${Y}$ = 因变量
${X}$ = 自变量
${a}$ = 表示 Y 截距的常数
${b}$ = 表示直线斜率的常数

a 和 b 的值由以下正规方程获得

${\sum Y = Na + b\sum X \\[7pt] \sum XY = a \sum X + b \sum X^2 }$

其中 -

${N}$ = 观察次数

X 对 Y 的回归方程

${X = a+bY}$

其中 -

${X}$ = 因变量
${Y}$ = 自变量
${a}$ = 表示 Y 截距的常数
${b}$ = 表示直线斜率的常数

a 和 b 的值由以下正规方程获得

${\sum X = Na + b\sum Y \\[7pt] \sum XY = a \sum Y + b \sum Y^2 }$

其中 -

${N}$ = 观察次数

示例

问题陈述

一位研究人员发现父亲和儿子的体重趋势之间存在相关性。他现在有兴趣根据给定数据开发这两个变量的回归方程。

父亲体重（公斤）	69	63	66	64	67	64	70	66	68	67	65	71
儿子体重（公斤）	70	65	68	65	69	66	68	65	71	67	64	72

开发

Y 对 X 的回归方程。
对 Y 的回归方程。

解决方案

${X}$	${X^2}$	${Y}$	${Y^2}$	${XY}$
69	4761	70	4900	4830
63	3969	65	4225	4095
66	4356	68	4624	4488
64	4096	65	4225	4160
67	4489	69	4761	4623
64	4096	66	4356	4224
70	4900	68	4624	4760
66	4356	65	4225	4290
68	4624	71	5041	4828
67	4489	67	4489	4489
65	4225	64	4096	4160
71	5041	72	5184	5112
${\sum X = 800}$	${\sum X^2 = 53,402}$	${\sum Y = 810}$	${\sum Y^2 = 54,750}$	${\sum XY = 54,059}$

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Y 对 X 的回归方程

Y = a+bX

其中，a 和 b 由正规方程获得

${\sum Y = Na + b\sum X \\[7pt] \sum XY = a \sum X + b \sum X^2 \\[7pt] 其中\ \sum Y = 810, \sum X = 800, \sum X^2 = 53,402 \\[7pt] , \sum XY = 54, 049, N = 12 }$

${\Rightarrow}$ 810 = 12a + 800b ... (i)

${\Rightarrow}$ 54049 = 800a + 53402 b ... (ii)

将方程 (i) 乘以 800，将方程 (ii) 乘以 12，我们得到

96000 a + 640000 b = 648000 ... (iii)

96000 a + 640824 b = 648588 ... (iv)

从 (iii) 中减去方程 (iv)

-824 b = -588

${\Rightarrow}$ b = -0.713

将 b 的值代入方程 (i)

810 = 12a + 800 (-0.713)

810 = 12a + 570.4

12a = 239.6

${\Rightarrow}$ a = 19.96

因此，Y 对 X 的方程可以写成

${Y = 19.96 - 0.713X}$

X 对 Y 的回归方程

X = a+bY

其中，a 和 b 由正规方程获得

${\sum X = Na + b\sum Y \\[7pt] \sum XY = a \sum Y + b \sum Y^2 \\[7pt] 其中\ \sum Y = 810, \sum Y^2 = 54,750 \\[7pt] , \sum XY = 54, 049, N = 12 }$

${\Rightarrow}$ 800 = 12a + 810b ... (V)

${\Rightarrow}$ 54,049 = 810a + 54,750b ... (vi)

将方程 (v) 乘以 810，将方程 (vi) 乘以 12，我们得到

64800 = 9720a + 656100b ... (vii)

648588 = 9720a + 657000b ... (viii)

从方程 (vii) 中减去方程 (viii)

-588 = -900b

${\Rightarrow}$ b = 0.653

将 b 的值代入方程 (v)

800 = 12a + 810 (0.653)

12a = 271.07

${\Rightarrow}$ a = 22.58

因此，X 和 Y 的回归方程为

${X = 22.58 + 0.653Y}$

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