统计学 - 偏度

如果离散度衡量的是变异量，那么变异的方向则是由偏度来衡量的。最常用的偏度度量是卡尔·皮尔逊的度量，用符号Skp表示。它是一个相对的偏度度量。

公式

${S_{KP} = \frac{平均数-众数}{标准差}}$

当分布是对称时，偏度系数的值为零，因为平均数、中位数和众数重合。如果偏度系数为正值，则分布为正偏态；如果为负值，则分布为负偏态。用矩来表示偏度如下

${\beta_1 = \frac{\mu^2_3}{\mu^2_2} \\[7pt] 其中\ \mu_3 = \frac{\sum(X- \bar X)^3}{N} \\[7pt] \, \mu_2 = \frac{\sum(X- \bar X)^2}{N}}$

如果${\mu_3}$的值为零，则表示分布是对称的。${\mu_3}$的值越高，对称性就越大。但是${\mu_3}$不能告诉我们偏度的方向。

示例

问题陈述

收集了两所院校IT课程学生平均成绩的信息如下

度量	A院校	B院校
平均数	150	145
中位数	141	152
标准差	30	30

我们可以得出结论，这两个分布在变异方面是否相似吗？

解决方案

查看可用信息可以发现，两所院校的离散度都为30名学生。但是，要确定这两个分布是否相似，需要进行更全面的分析，即我们需要计算偏度度量。

${S_{KP} = \frac{平均数-众数}{标准差}}$

众数的值没有给出，但可以使用以下公式计算

${ 众数 = 3 中位数 - 2 平均数 \\[7pt] A院校: 众数 = 3 (141) - 2 (150)\\[7pt] \, = 423-300 = 123 \\[7pt] S_{KP} = \frac{150-123}{30} \\[7pt] \, = \frac{27}{30} = 0.9 \\[7pt] \\[7pt] B院校: 众数 = 3(152)-2 (145)\\[7pt] \, = 456-290 \\[7pt] \, S_kp = \frac{(142-166)}{30} \\[7pt] \, = \frac{(-24)}{30} = -0.8 }$

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