统计学 - F 检验表

F 检验以更著名的分析师 R.A. Fisher 的名字命名。F 检验用于检验两个独立的总体方差估计是否显著不同，或者这两个样本是否可以认为是从具有相同方差的正态总体中抽取的。为了进行检验，我们计算 F 统计量，其定义为

公式

${F} = \frac{总体方差较大估计}{总体方差较小估计} = \frac{{S_1}^2}{{S_2}^2}\ 其中\ {{S_1}^2} \gt {{S_2}^2}$

步骤

其检验步骤如下

建立原假设，即两个总体方差相等。即 ${H_0: {\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2}$
使用公式计算随机样本的方差

${S_1^2} = \frac{\sum(X_1- \bar X_1)^2}{n_1-1}, \\[7pt] \ {S_2^2} = \frac{\sum(X_2- \bar X_2)^2}{n_2-1}$
计算方差比 F 为

${F} = \frac{{S_1}^2}{{S_2}^2}\ 其中\ {{S_1}^2} \gt {{S_2}^2}$
计算自由度。总体方差较大估计的自由度用 v1 表示，较小估计用 v2 表示。即，
1. ${v_2}$ = 具有较小方差的样本的自由度 = ${n_2-1}$
然后从书末提供的 F 表中，找到 ${v_1}$ 和 ${v_2}$ 在 5% 显着性水平下的 ${F}$ 值。
然后我们将计算出的 ${F}$ 值与 ${v_1}$ 和 ${v_2}$ 自由度下 ${F_.05}$ 的表值进行比较。如果计算出的 ${F}$ 值超过 ${F}$ 的表值，我们拒绝原假设，并得出结论认为两个方差之间的差异是显著的。另一方面，如果计算出的 ${F}$ 值小于表值，则接受原假设，并得出结论认为这两个样本都说明了 F 检验的应用。

示例

问题陈述

在一个包含 8 个观测值的样本中，观测值与其平均值的平方差之和为 94.5。在另一个包含 10 个观测值的样本中，观察到的值为 101.7。检验这两个样本方差的差异在 5% 水平下是否显著。（给定在 5% 的显著性水平下，${v_1}$ = 7 和 ${v_2}$ = 9 时 ${F}$ 的临界值为 3.29）。

解答

让我们假设两个样本的方差差异不显著，即 ${H_0: {\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2}$

我们得到以下信息

${n_1} = 8 , {\sum {(X_1 - \bar X_1)}^2} = 94.5, {n_2} = 10, {\sum {(X_2 - \bar X_2)}^2} = 101.7, \\[7pt] {S_1^2} = \frac{\sum(X_1- \bar X_1)^2}{n_1-1} = \frac {94.5}{8-1} = \frac {94.5}{7} = {13.5}, \\[7pt] {S_2^2} = \frac{\sum(X_2- \bar X_2)^2}{n_2-1} = \frac {101.7}{10-1} = \frac {101.7}{9} = {11.3}$

应用 F 检验

${F} = \frac{{S_1}^2}{{S_2}^2} = \frac {13.5}{11.3} = {1.195}$

对于 ${v_1}$ = 8-1 = 7，${v_2}$ = 10-1 = 9 以及 ${F_.05}$ = 3.29。计算出的 ${F}$ 值小于表值。因此，我们接受原假设，并得出结论认为这两个样本的方差差异在 5% 水平下不显著。

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