统计学 - 拟合优度

拟合优度检验用于检查样本数据是否符合总体分布。总体可能具有正态分布或威布尔分布。简单来说，它表示样本数据正确地代表了我们期望从实际总体中找到的数据。以下检验通常由统计学家使用

卡方检验
Kolmogorov-Smirnov检验
Anderson-Darling检验
Shapiro-Wilk检验

卡方检验

卡方检验是最常用的拟合优度检验之一，用于离散分布（如二项分布和泊松分布），而Kolmogorov-Smirnov和Anderson-Darling拟合优度检验用于连续分布。

公式

${ X^2 = \sum {[ \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}]} }$

其中 -

${O_i}$ = 变量第i个水平的观察值。
${E_i}$ = 变量第i个水平的期望值。
${X^2}$ = 卡方随机变量。

示例

一家玩具公司生产足球运动员玩具。它声称30%的卡片是中场球员，60%是后卫，10%是前锋。假设随机抽取100个玩具，其中50个是中场球员，45个是后卫，5个是前锋。在显著性水平为0.05的情况下，你能证明公司的说法吗？

解决方案

确定假设

零假设 $ H_0 $ - 中场球员、后卫和前锋的比例分别为30%、60%和10%。
备择假设 $ H_1 $ - 零假设中至少有一个比例是错误的。

确定自由度

自由度DF等于分类变量的水平数(k)减1：DF = k - 1。这里水平数为3。因此

${ DF = k - 1 \\[7pt] \, = 3 -1 = 2 }$

确定卡方检验统计量

${ X^2 = \sum {[ \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}]} \\[7pt] \, = [\frac{(50-30)^2}{30}] + [\frac{(45-60)^2}{60}] + [\frac{(5-10)^2}{10}] \\[7pt] \, = \frac{400}{30} + \frac{225}{60} + \frac{25}{10} \\[7pt] \, = 13.33 + 3.75 + 2.50 \\[7pt] \, = 19.58 }$

确定p值

P值是具有2个自由度的卡方统计量$ X^2 $大于19.58的概率。使用卡方分布计算器查找$ { P(X^2 \gt 19.58) = 0.0001 } $。

解释结果

由于P值(0.0001)远小于显著性水平(0.05)，因此不能接受零假设。因此，公司的说法是无效的。

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